三角形の中心

三角形の中心（さんかくけいのちゅうしん、英: triangle center）とは、任意の三角形から一意的に求めることができる点の総称である^[1]。他に芯、心などとも^[2]。

例

以下のような例がある（他にもいろいろある）。

3本の線の交点

3頂点または3辺に対し指定された方法で引かれた3本の直線が1点で交わる（共点である）とき、その交点。共点であることを示すためにチェバの定理がよく利用される。

例

垂心 - 3本の高さ（各頂点からその対辺へ垂直に下ろした線分）の交点。
内心 - 角の二等分線、3本の交点。
外心 - 辺の垂直二等分線、3本の交点。
重心 - 3本の三角形の中線(各頂点とその対辺の中点を結ぶ線分)の交点。
加重重心 - 各頂点とその対辺の内分点を結ぶ線分、3本の交点。各頂点に各辺の比をいれかえた値の重りをつり下げるとつりあいの中心となる。
ジェルゴンヌ点 - 頂点と対辺に内接円が接する点を結ぶ線3本の交点。

エクセター点や安島-マルファッティ点のように、線分の作図に複数のステップを踏むものもある。

円の中心

特定の円の中心に当たる点。

例

内心 - 3辺に接する円（内接円）の中心。
外心 - 3頂点を通る円（外接円）の中心。
傍心 - 三角形の傍接円の中心。
六点円の中心 - 各頂点から下ろした垂線の足から他の2辺に下ろした合計6個の垂線の足を通る円の中心。
九点円の中心 - 各辺の中点、各頂点からその対辺に下ろした垂線の足、垂心と各頂点の中点の9点を通る円の中心。
シュピーカー点 - 中点三角形の内心。

既存の点や線から導かれるもの

計量を最小にする点、特定の2点の中点、特定の線と円の交点など。

例

フェルマー点 - 3頂点からの距離の和が最小となる点。
九点円の中心 - 外心と垂心の中点に当たる点。
等力点 - 3つのアポロニウスの円の交点。

上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。

歴史

内心・外心・重心・垂心・傍心（五心）などは古くから知られており、ユークリッドの「原論」にも記述が見られる。

他の点の多くは、1678年のチェバの定理より後となる。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心にジェルゴンヌ点などがある。

モーレーの定理の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点にはブロカール点・ド・ロンシャン点などがある。

その後も新しい心が提示されており、エヴァンズビル大学内のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」には2024年現在62000以上の心が登録されている。

名称

心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。ナポレオン点のナポレオン・ボナパルトやソディ点のフレデリック・ソディのように、数学者以外の名前がつく例もある。

安島-マルファッティ点のように、日本人の名前が入っているものもある。

三線座標と重心座標

平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。

三線座標系は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから h_A・辺CAから h_B・辺ABから h_C だけ離れているとき、Pの三線座標を (h_A, h_B, h_C) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを絶対三線座標という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。

例：内心の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (r, r, r) である。ここで r は内接円の半径である。

重心座標系（英語版）は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (g_A, g_B, g_C) のとき、

{\vec {P}}={\frac {g_{A}{\vec {A}}+g_{B}{\vec {B}}+g_{C}{\vec {C}}}{g_{A}+g_{B}+g_{C}}}

が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に (g_A, g_B, g_C) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。

三線座標と重心座標の間には、g_A : g_B : g_C = a h_A : b h_B : c h_C の関係が成り立つ。ここで、a, b, c は 3 辺の長さである。

3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。

主な心を三線座標・重心座標と共に示す^{[註 1]}と以下のようになる:

記号^{[註 2]}	名称	三線座標または h_A = h(a, b, c)^{[註 3]}	重心座標または g_A = g(a, b, c) ^{[註 3]}
X₁, I	内心	(1, 1, 1)	(a, b, c)
X₂, G	重心	(1/a, 1/b, 1/c)	(1, 1, 1)
X₃, O	外心	(cos A, cos B, cos C)	(sin 2A, sin 2B, sin 2C) (a²(b²+c²-a²), b²(c²+a²-b²), c²(a²+b²-c²))
X₄, H	垂心	(1/cos A, 1/cos B, 1/cos C)	(tan A, tan B, tan C) (1/(b²+c²-a²), 1/(c²+a²-b²), 1/(a²+b²-c²))
X₅, N	九点円の中心	(cos(B - C), cos(C - A), cos(A - B))	g_A = a²(b² + c²) - (b² - c²)²
X₆, K	類似重心 (ルモワーヌ点)	(a, b, c)	(a², b², c²)
X₇, G_e	ジェルゴンヌ点	(sec²(A/2), sec²(B/2), sec²(C/2))	(tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)) (1/(b+c-a), 1/(c+a-b), 1/(a+b-c))
X₈, N_a	ナーゲル点	(csc²(A/2), csc²(B/2), csc²(C/2))	(cot(A/2), cot(B/2), cot(C/2)) (b+c-a, c+a-b, a+b-c)
X9, M	ミッテンプンクト	(b+c-a,c+a-b,a+b-c)	(1+cos(A),1+cos(B),1+cos(C)) (a((b+c)²-a²), b((c+a)²-b²), c((a+b)²-c²))
X₁₀, S_p	シュピーカー点	(bc(b+c), ca(a+b), ab(a+b))	(b+c, c+a, a+b)
X₁₁	フォイエルバッハ点	(1- cos(B - C), 1- cos(C - A), 1- cos(A - B))	g_A = (b +c-a)(b-c)²
X₁₂	フォイエルバッハ点の{X₁,X₅}調和共役	(1+ cos(B - C) ,1+ cos(C - A) ,1+ cos(A - B))	g_A =(b+c)²/(b +c-a)
X₁₃	第1フェルマー点	(csc(A + π/3), csc(B + π/3), csc(C + π/3))	g_A = a⁴ - 2(b² - c²)² + a²(b² + c² + 4√3×△ABC)^{[註 4]}
X₁₄	第2フェルマー点	(csc(A - π/3), csc(B - π/3), csc(C - π/3))	g_A = a⁴ - 2(b² - c²)² + a²(b² + c² - 4√3×△ABC)^{[註 4]}
X₁₅	第1等力点	(sin(A + π/3), sin(B + π/3), sin(C + π/3))	g_A=a²((a²-b²-c²)√3-△ABC )^{[註 4]}
X₁₆	第2等力点	(sin(A - π/3), sin(B - π/3), sin(C - π/3))	g_A=a²((a²-b²-c²)√3+△ABC )^{[註 4]}
X₁₇, N	第1ナポレオン点	(sec(A - π/3), sec(B - π/3), sec(C - π/3))	g_A = (sin A) h_A
X₁₈, N'	第2ナポレオン点	(sec(A + π/3), sec(B + π/3), sec(C + π/3))	g_A = (sin A) h_A
X₁₉	クローソン点	(tan A, tan B, tan C)	g_A=a(b²+c²-a²)
X₂₀, L	ド・ロンシャン点	h_A = cos A - cos B cos C	g_A = tan B + tan C - tan A
X₂₁	シフラー点	h_A = (b+c-a)/(b+c)	g_A = sin A /(cos B+cos C)
X₂₂, E_x	エクセター点	h_A = a(b⁴+c⁴-a⁴)	g_A = a h_A
X₃₀	オイラー無限遠点	h_A = cos A - 2cos B cos C	g_A = (sin A) h_A
X₃₉	ブロカール中点	(a(b²+c²), b(c²+a²), c(a²+b²))	(a²(b²+c²), b²(c²+a²), c²(a²+b²))
X₄₀	ベバン点	h_A = cos B +cos C -cos A -1	g_A = (sin A) h_A
X₅₄	コスニタ点	(sec(B - C), sec(C - A), sec(A - B))	(sin A sec(B - C), sin B sec(C - A), sin C sec(A - B))
X₆₈	プラソロフ点	h_A = cos A sec 2A	g_A = (b² + c² - a²)/(a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2a²c²)
X₇₆	第3ブロカール点	(1/a³,1/b³,1/c³)	(1/a²,1/b²,1/c²)
X₉₈	タリ―点	h_A = bc/(b⁴ + c⁴ - a²b² - a²c²)	g_A = 1/(b⁴ + c⁴ - a²b² - a²c²)
X₉₉	シュタイナー点	h_A = bc/(b² - c²)	g_A = 1/(b² - c²)
X₁₁₀	キーペルト放物線の焦点	h_A = a/(b² - c²)	g_A = sec(B - C)+ sec(C - A)sec(A - B)
X₁₁₁	パリー点	h_A = a/(2a²-b² - c²)	g_A = a h_A
X₁₁₅	キーペルト双曲線の中心	h_A = bc(b² - c²)²	g_A = (b² - c²)²
X₁₂₅	ジェラベク双曲線の中心	h_A = cos A sin²(B - C)	g_A = a h_A
X₁₇₃	合同二等辺化線点	h_A =tan A/2 + sec A/2	g_A = (sin A) h_A
X₁₇₄	イフ合同心	(sec A/2 , sec B/2 , sec C/2)	(sin A/2 , sin B/2 , sin C/2)
X₁₇₅	第1ソディ点（英語版）	h_A = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) - 1	g_A = (sin A) h_A
X₁₇₆	第2ソディ点（英語版）	h_A = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) + 1	g_A = (sin A) h_A
X₁₇₉	第1安島-マルファッティ点	(sec⁴(A/4), sec⁴(B/4), sec⁴(C/4))	(sin A sec⁴(A/4), sin B sec⁴(B/4), sin C sec⁴(C/4))
X₁₈₀	第2安島-マルファッティ点	h_A = 1/t(B, C, A) + 1/t(C, B, A) - 1/t(A, B, C), 但し、t(A, B, C) = 1 + 2(sec(A/4) cos(B/4) cos(C/4))²	g_A = (sin A) h_A
X₁₈₁	アポロニウス点	h_A = a(b+c)²/(b+c-a)	g_A = a h_A
X₁₈₂	ブロカール円の中心	(cos(A- ω) , cos(B - ω) , cos(C -ω))^{[註 5]}	g_A = (sin A) h_A
X₁₉₂	合同辺平行線点	bc(ca + ab - bc) , ca(ab + bc - ca) , ab(bc + ca - ab)	ca + ab - bc ,ab + bc - ca ,bc + ca - ab
X₃₅₁	パリー円の中心	h_A = a(b² - c²)(b² + c² - 2a²)	g_A = a h_A
X₃₅₄	ヴァイル点	h_A = (b - c)² - ab - ac	g_A = a h_A
X₃₅₅	フールマン円の中心	h_A = a cos A - (b + c)cos(B - C)	g_A = a h_A
X₃₅₆	第一モーリー三角形の中心	h_A = cos A/3 + 2 cos B/3 cos C/3	g_A = (sin A) h_A
X₃₅₇	第二モーリー中心	sec A/3 , sec B/3 , sec C/3	g_A = (sin A) h_A
X₃₅₉	ホフスタッター1点	h_A = a/A	g_A = a h_A
X₃₆₀	ホフスタッター0点	h_A = A/a	g_A = a h_A
X₃₆₉	第1周長三等分点（英語版）	h_A =bc(r - c + a)(r - a + b) ただしrは2t³ - 3(a + b + c)t² + (a² + b² + c² + 8bc + 8ca + 8ab)t - (cb² + ac² + ba² + 5bc² + 5ca² + 5ab² + 9abc)=0の実根	g_A = a h_A
X₃₈₉	六点円の中心	h_A = cos A - cos 2A cos(B - C)	g_A = (sin A) h_A
X₃₉₉	パリー鏡映点	h_A = 5 cos A - 4 cos B cos C - 8 sin B sin C cos²A	g_A = (sin A) h_A
X₄₀₂	ゴッサード配景中心	h_A =(2a⁴ - a²b² - b⁴ - a²c² + 2b²c² - c⁴)(a⁸ - a⁶b² - 2a⁴b⁴ + 3a²b⁶ - b⁸ - a⁶c² + 5a⁴b²c² - 3a²b⁴c² - b⁶c² - 2a⁴c⁴ - 3a²b²c⁴ + 4b⁴c⁴ + 3a²c⁶ - b²c⁶ - c⁸)	g_A = a h_A
X₄₈₁	第一エプシュタイン点	h_A = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-1	g_A = (sin A) h_A
X₄₈₂	第二エプシュタイン点	h_A = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)+1	g_A = (sin A) h_A
X₄₈₅	外ベクタン点	sec(A - π/4) , sec(B - π/4) , sec(C -π/4)	g_A = (sin A) h_A
X₄₈₆	内ベクタン点	sec(A + π/4) , sec(B + π/4) , sec(C + π/4)	g_A = (sin A) h_A
X₉₉₉	混線内接円の根心	h_A =1/(a(a²+ 4bc- b²- c²))	g_A = a h_A
X1115	シュタイナーの曲率重心	(bc(π - A), ca(π - B), ab(π - C))	((π - A), (π - B), (π - C))
X₁₁₁₆	レスター円の中心	h_A = bc(b²-c²)(2(a²-b²)(c²-a²) + 3R²(2a²-b²-c²) - a²(a²+b²+c²) + a⁴+b⁴+c⁴)^{[註 6]}	g_A = a h_A
X₁₁₅₃	ヴァン・ラモン円の中心	h_A = bc(13a²(b² + c²) + 10b²c² - 10a⁴ - 4b⁴ - 4c⁴)	g_A = a h_A
X₁₃₂₃	フレッチャー点	h_A = (sec²A/2)(2 cos²A/2 - cos²B/2 - cos²C/2)	g_A = (sin A) h_A
X₁₃₃₇	第一ヴェルナウ点	h_A = a(-2(-a²+b²+c²)△ABC+√3(a²-c²+b²)(a²-b²+c²))(√3b²+2△ABC)(√3*c²+2△ABC)	g_A = a h_A
X₁₃₃₈	第ニヴェルナウ点	h_A = a(-2(-a²+b²+c²)△ABC+√3(a²-c²+b²)(a²-b²+c²))(√3b²-2△ABC)(√3*c²-2△ABC)	g_A = a h_A
X₁₃₇₁	第一リグビー点	h_A = 1 + 8(△ABC)/(3a(b + c - a))	g_A = a h_A
X₁₃₇₂	第二リグビー点	h_A = 1 - 8(△ABC)/(3a(b + c - a))	g_A = a h_A
X₁₃₇₃	第一グリフィス点	h_A = 1 + 8(△ABC)/(a(b + c - a))	g_A = a h_A
X₁₃₇₄	第二グリフィス点	h_A = 1 - 8(△ABC)/(a(b + c - a))	g_A = a h_A
X₈₁₄₂	GEOS円の中心	h_A = a²cot A/(2△ABC)+cot Bcot C -a(b+c-a)/(2(a-b)(a-c))	g_A = (sin A) h_A

また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる:

記号^{[註 2]}	名称	三線座標	重心座標
A B C	頂点	(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)	(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
I_A I_B I_C	傍心	(-1, 1, 1) (1, -1, 1) (1, 1, -1)	(-a, b, c) (a, -b, c) (a, b, -c)
P₁ U₁	第1ブロカール点第2ブロカール点	(c/b, a/c, b/a) (b/c, c/a, a/b)	(ac/b, ba/c, cb/a) (ab/c, bc/a, ca/b)

^ 各座標は、比が意味を持つ事、および、角A, B, Cと辺の長さa, b, cは互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。
^ ^a ^b 記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。
^ ^a ^b 心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function h(a, b, c) = (1/a) g(a, b, c) が存在して、三線座標 (h(a, b, c), h(b, c, a), h(c, a, b)), 重心座標 (g(a, b, c), g(b, c, a), g(c, a, b)) と書ける。
^ ^a ^b ^c ^d △ABC は三角形の面積であり、△ABC = (1/4)√[(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)]
^ ωはブロカール角である。
^ Rは外接円の半径である。

出典

^ やさしくわかる数学のはなし77, p. 68, - Google ブックス
^ 根津千治『初めて学ぶ人の幾何学上巻』先進堂、1924年、93頁。NDLJP:921988。

外部リンク

Clark Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers - エヴァンズビル大学。2024年3月12日更新版、2024年3月12日閲覧。
Clark Kimberling, Bicentric Pairs - エヴァンズビル大学。2015年1月7日更新版、2015年5月24日閲覧。
Weisstein, Eric W. "Triangle Center". mathworld.wolfram.com (英語).
triangle center - PlanetMath.（英語）
Hazewinkel, M. (2001), “Triangle centre”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

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[3] 各座標は、比が意味を持つ事、および、角A, B, Cと辺の長さa, b, cは互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。

[symbol-4] 記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。

[center-function-5] 心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function h(a, b, c) = (1/a) g(a, b, c) が存在して、三線座標 (h(a, b, c), h(b, c, a), h(c, a, b)), 重心座標 (g(a, b, c), g(b, c, a), g(c, a, b)) と書ける。

[面積-6] △ABC は三角形の面積であり、△ABC = (1/4)√[(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)]

[7] ωはブロカール角である。

[8] Rは外接円の半径である。

[1] やさしくわかる数学のはなし77, p. 68, - Google ブックス

[2] 根津千治『初めて学ぶ人の幾何学上巻』先進堂、1924年、93頁。NDLJP:921988。

[1]

[2]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[註 5]

[註 6]