ナーゲル点

幾何学におけるナーゲル点（ナーゲルてん、Nagel Point）は、任意の三角形に対し一意的に決定される点の名称である。

三角形（黒）とナーゲル点（N で示された青い点）橙色の円は傍接円。

ナーゲル点 N を通るフールマン円。垂心 H と当該円の直径を構成する。

三角形 ABC において、BC と傍接円の接点を T_A とする。同様に T_B, T_C を定義したとき、AT_A, BT_B, CT_C の3直線が交わる点がナーゲル点である。名称は1836年にこの点について言及したドイツのクリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルに由来している。

A と T_A は三角形の周を等分する。このことからナーゲル点は "bisected perimeter point" とも呼ばれる。同じ理由から AT_A などを中界線と呼ぶ。

他の点との関係

ナーゲル点は重心・内心と同一直線上にある。この線をナーゲル線と呼ぶ。三角形の内心は中点三角形のナーゲル点となる。

ジェルゴンヌ点と等長共役の関係にある。

座標

1913年にゲラトゥリはナーゲル点の三線座標が以下の式で表されることを示した。

$\csc ^{2}(A/2)\,:\,\csc ^{2}(B/2)\,:\,\csc ^{2}(C/2)$

三辺の長さを a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とすると、以下の式で表すことができる。

${\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.$

重心座標では以下の式となる。

$(b+c-a)\,:\,(c+a-b)\,:\,(a+b-c)$

関連項目

• 三角形の中心
• フールマン円
• 半周長

参考文献

• Anonymous; Hoover, William; Anthony, O. W (1896). Problem 73. “Geometry: 69-72”. American Mathematical Monthly 3 (12): 329. doi:10.2307/2970994. JSTOR 2970994. 
• Baptist, Peter (1987). “Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt”. Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften 71 (2): 230–233. MR0936136. 
• Gallatly, William (1913). The Modern Geometry of the Triangle (2nd ed.). London: Hodgson. pp. page 20 

外部リンク

• Nagel Point from Cut-the-knot
• Nagel Point, Clark Kimberling
• Weisstein, Eric W. "Nagel Point". mathworld.wolfram.com (英語).
• Spieker Conic and generalization of Nagel line at Dynamic Geometry Sketches Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.