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無限遠直線

無限遠点全体の集合

無限遠直線（むげんえんちょくせん、Line at infinity）は、幾何学または位相幾何学における実アフィン平面（英語版）に付加される直線である。位相幾何学に閉包性を与え、射影平面の接続関係（英語版）の性質の特殊な場合を例外なく取り扱うために使われる。無限遠線、無窮遠直線、無窮遠線、無窮線、あるいは理想線（ideal line[1]）とも言われる[2][3][4][5][6]。ポンスレなどによって研究された[7]。

幾何学的構築

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アフィン幾何学やユークリッド幾何学においては平行線は交わらないとされるが、射影幾何学においては、2つの直線は実平面で常に交わる。特に平行線は無限遠点で交わる。すべての無限遠点が存在する直線を無限遠直線という[8]。

任意の直線は無限遠直線と交わる。交点は直線の傾きのみに依存する。

アフィン平面において、直線は2方向に延びている。射影平面ではこの2方向の無限遠点は同一である。故に射影平面上の直線は閉曲線である。無限遠直線もまた自身と交叉するため閉曲線である。

位相幾何学的観点

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無限遠直線はアフィン平面を囲う円とみなすこともできる。しかし円上の点の対蹠点は自身と一致する。 アフィン平面と無限遠直線は実射影平面（英語版） を成す。

双曲線は2つの漸近線方向の無限遠点で自身と交わり、閉曲線とみなせる[9]。同様に放物線も軸方向の無限遠点で自己交叉し、閉曲線とみなすことができる。放物線と無限遠直線は接する[10]。

複素射影平面上の無限遠直線の類似物は、複素射影直線である。2次元複素数空間上にリーマン球面を付加し4次元コンパクト空間を成すという点で、位相幾何学的には無限遠直線と全く異なる。実射影平面とは異なり、この結果は向き付け可能である。

歴史

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複素無限遠直線は19世紀幾何学でよく使われた。円を無限遠直線上のある二点（虚円点）を通る円錐曲線として扱うことに応用された。

方程式X2 + Y2 = 0は、円の方程式から低次の項を除いたものである。通常、射影幾何学においては同次座標系（英語版）[X:Y:Z]が採択される。

無限遠直線は、Z = 0の場合である[11][12]。つまり、低次の項をすべて除外した式を表す。

すべての円は無限遠直線上の虚円点を通る[13]。

I = [1:i:0] , J = [1:−i:0].

これらは当然複素点で、任意の同次座標に存在する。ただし、射影直線は対称変換群（英語版） を持つため、これは特別ではない。結論としては、円を5点で決定される円錐曲線（英語版）としてみなすことができるということである。

初等幾何学

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三角形幾何学（ドイツ語版）では、無限遠直線は様々な特徴づけが成される。三角形の三辺をa,b,cとして、無限遠直線は三線座標(p ,q ,r)ではa p + b q + c r = 0、重心座標(p ,q ,r)ではp + q + r = 0と表される[1][14]。重心の三線極線としても定義できる[15]。外接円とシュタイナー楕円はそれぞれ等角共役、等長共役で無限遠直線に移る。一般に外接円錐曲線の自身による平行弦共役は無限遠直線に移る[16]。

円による反転によって、無限遠直線は、基準円の中心に映る。また、円の中心の極線は無限遠直線である。

関連項目

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出典

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  1. ^ a b Weisstein. “Line at Infinity” (英語). mathworld.wolfram.com. Wolfram Research. 28 December 2016閲覧。
  2. ^ 渡辺義勝『図表及ビ図計算』弘道館、1938年、143-145頁。NDLJP:1875780。 
  3. ^ 米山国蔵『数学之基礎 上』積善館、1925年、145頁。NDLJP:925124。 
  4. ^ ウジェーヌ・ルーシェ,シャルル・ド・コンブルース 著、小倉金之助 訳『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂、1915年、62,319,459頁。doi:10.11501/1082037。 
  5. ^ ウヰルソン 著、林田雷次郎 訳『幾何学』大平俊章等、1887年、77頁。NDLJP:828420。 
  6. ^ 中川銓吉『近世綜合幾何学演習』共立出版、1948年、159頁。NDLJP:1063414。 
  7. ^ 高木貞治『輓近高等数学講座 第2巻』共立社、1933年、153頁。NDLJP:1078175。 
  8. ^ 『無限遠直線』 - コトバンク
  9. ^ “学問入門講座”. 青山学院大学 理工学部 物理・数理学科. 2024年8月28日閲覧。
  10. ^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、53,99頁。doi:10.11501/1063410。 
  11. ^ “射影平面と双対性”. 2024年8月28日閲覧。
  12. ^ 森本清吾『座標幾何学 (共立全書 ; 第40)』共立出版、1952年、75,77,81,89,111頁。doi:10.11501/1372006。 
  13. ^ リヒター-ゲバート, J.、コルテンカンプ, U. H.『シンデレラ: 幾何学のためのグラフィックス』Springer Science & Business Media、2003年11月26日。ISBN 978-4-431-70966-4。https://www.google.co.jp/books/edition/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AC%E3%83%A9/ClNmPJSArqwC?hl=ja&gbpv=1&dq=%22%E8%99%9A%E5%86%86%E7%82%B9%22&pg=PA55&printsec=frontcover。 
  14. ^ 一松, 信 編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、20頁。ISBN 978-4-7687-0437-0。 
  15. ^ Weisstein. “Trilinear Pole”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2024年8月28日閲覧。
  16. ^ 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年8月28日閲覧。
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