中心線 (幾何学)

幾何学において, 中心線^{[訳語疑問点]}（ちゅうしんせん、英: Central lines）とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリング（英語版）の論文でまとめられた^[1]^[2]。

定義

$△ ABC$ に対する三線座標 $x : y : z$ を用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。 $f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0$ ここで三線座標 $f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)$ は三角形の中心である^[3]^[4]。

三線極線

三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線（trilinear polars）と等角共役がある。

三線座標で $X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)$ とし ${\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0$ の表す直線は $X$ の三線極線と呼ばれる^[2]^[5]。 $Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}$ の表す点は $X$ の等角共役点と呼ばれる。

したがって、次の式で与えられる中心線は点 $f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)$ の等角共役点の三線極線である。 $f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0$

中心線の作図

$△ ABC$ と点 $X$ について、中心線は以下の様に定義される。

$Y$ を $X$ の等角共役点とする。 $AY, BY, CY$ は直線 $AX, BX, CX$ を $A, B, C$ の角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。
$△ ABC$ と点 $Y$ に対するチェバ線 $AY, BY, CY$ と $BC, CA, AB$ の交点 $A', B', C'$ でチェバ三角形 $△ A'B'C'$ を作る。
$△ ABC$ と $△ A'B'C'$ は $Y$ を中心とし配景 (en:Perspective) なのでデザルグの定理が成り立つ。
この配景の軸 $DEF$ を $Y$ の三線極線、 $X$ の中心線と言う。

著名な中心線

クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点 $X n$ に対する中心線は $L n$ と表記される。

△ ABC

とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸

内心の中心線:反垂軸

内心 $X 1 = 1 : 1 : 1$ (または $I$ )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。 $x+y+z=0.$

$△ ABC$ の内心の等角共役点は内心自身である。したがって、 $△ ABC$ とその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形）の配景の軸は反垂軸である。
反垂軸は $△ ABC$ と傍心三角形 $△ I 1 I 2 I 3$ の配景の軸である^[6]。
$△ ABC$ の傍接円の $△ ABC$ の辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 $△ ABC$ と外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。

重心の中心線:ルモワーヌ軸

$△ ABC$ の重心 $X 2$ （または $G$ ）の三線座標は以下の様に与えられる。 ${\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}$ 重心の中心線は以下の式で表される。 ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.$ この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。

$X 2$ の等角共役点である類似重心 $X 6$ （または $K$ ）の三線座標は $a : b : c$ である。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。
$△ ABC$ の頂点の外接円に対する接線の成す三角形を接線三角形 $△ T A T B T C$ と言う。 $△ ABC$ と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。

外心の中心線:垂軸

外心 $X 3$ （または $O$ ）の三線座標は以下の様に与えられる。 $\cos A:\cos B:\cos C$ 外心の中心線は以下の式で表される。 $x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.$ この直線を垂軸（Orthic axis）という^[7]。

外心 $X 3$ の等角共役点は垂心 $X 4$ （または $H$ ）の三線座標は $sec A : sec B : sec C$ である。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線と垂直に交わる^[8]。 $△ ABC$ と垂足三角形 $△ H A H B H C$ の配景の軸は垂軸である。

垂心の中心線

垂心 $X 4$ （または $H$ ）の三線座標は以下の様に与えられる。 $\sec A:\sec B:\sec C$ 垂心の中心線は以下の式で表される。 $x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.$

外心の三線極線は垂心の中心線である。

九点円の中心の中心線

九点円の中心 $X 5$ （または $N$ ）の三線座標は以下の式で与えられる。 $\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).$ $X 5$ の中心線は以下の式で表される。 $x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.$

$X 5$ の等角共役点はコスニタ点 $X 54$ である。したがってコスニタ点の三線極線は $X 5$ の中心線である^[9]^[10]。

類似重心の中心線: 無限遠直線

類似重心 $X 6$ （または $K$ ）の三線座標は以下の式で与えられる。 $a:b:c$ 類似重心の中心線は以下の式で表される。 $ax+by+cz=0.$

この直線は $△ ABC$ の無限遠直線（line at infinity）と呼ばれる。
類似重心の等角共役点は重心である。したがって重心の三線極線は $△ ABC$ の無限遠線である。 $△ ABC$ とその中点三角形の配景の軸は無限遠線である。

その他の有名な中心線

オイラー線

$△ ABC$ のオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。 $x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.$ これは $X 647$ の中心線である。

ナーゲル線

$△ ABC$ のナーゲル線（Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー中心、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。 $xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.$ これは $X 649$ の中心線である。

ブロカール軸

$△ ABC$ のブロカール軸（Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。 $x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.$ これは $X 523$ の中心線である。

出典

^ Kimberling, Clark (June 1994). “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”. Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608.
^ ^a ^b Kimberling, Clark (1998). Triangle Centers and Central Triangles. Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc.. pp. 285
^ Weisstein. “Central Line”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 24 June 2012閲覧。
^ Kimberling. “Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers”. 23 April 2012時点のオリジナルよりアーカイブ。24 June 2012閲覧。
^ Weisstein. “Trilinear Polar”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 28 June 2012閲覧。
^ Weisstein. “Antiorthic Axis”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 26 June 2012閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Orthic Axis” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月22日閲覧。
^ “垂軸”. kikagaku.at-ninja.jp. 2024年3月22日閲覧。
^ Weisstein. “Kosnita Point”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 29 June 2012閲覧。
^ Darij Grinberg (2003). “On the Kosnita Point and the Reflection Triangle”. Forum Geometricorum 3: 105–111 29 June 2012閲覧。.