以下に、本記事で扱う三角形の各値の表記を並べる。
三角形の辺長 a,b,c
周長 p 、半周長 s 角 A,B,C （それぞれ辺a,b,c の対角）面積 T 中線 の長さma ,mb ,mc 頂垂線 の長さha ,hb ,hc 角の二等分線 の長さta ,tb ,tc 垂直二等分線 の長さpa ,pb ,pc （中点 から他の辺との交点まで）内半径 r と傍接円 半径ra ,rb ,rc 外半径 R
三角不等式
a
<
b
+
c
,
b
<
c
+
a
,
c
<
a
+
b
{\displaystyle a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b}
max
(
a
,
b
,
c
)
<
s
.
{\displaystyle \max(a,b,c)<s.}
変形すれば、
3
2
≤
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
<
2
,
{\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,}
極限値 、つまり三角形を線分へ退化 させた場合に等号が成立する[ 1] ネスビットの不等式 。
3
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
≥
2
(
b
a
+
c
b
+
a
c
)
+
3.
{\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}
[ 2] :p.250,#82
a
b
c
≥
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }
[ 1] :p. 260
1
3
≤
a
2
+
b
2
+
c
2
(
a
+
b
+
c
)
2
<
1
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}<{\frac {1}{2}}.\quad }
[ 1] :p. 261
a
+
b
−
c
+
a
−
b
+
c
+
−
a
+
b
+
c
≤
a
+
b
+
c
.
{\displaystyle {\sqrt {a+b-c}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\leq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}
[ 1] :p. 261
a
2
b
(
a
−
b
)
+
b
2
c
(
b
−
c
)
+
c
2
a
(
c
−
a
)
≥
0.
{\displaystyle a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0.}
[ 1] :p. 261 ∠C が鈍角 であるとき、
a
2
+
b
2
<
c
2
;
{\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}
∠C が鋭角 であるとき、
a
2
+
b
2
>
c
2
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}.}
∠C が直角 であるとき、ピタゴラスの定理 。
a
2
+
b
2
>
c
2
2
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}
[ 2] :p.1,#74 二等辺三角形 が線分へ退化するときこの等号が成立する。
重心 が内接円の内側にあるとき、
a
2
<
4
b
c
,
b
2
<
4
a
c
,
c
2
<
4
a
b
.
{\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}
[ 3] :p. 153 ただし、三角不等式 より、上の式は常に成立する。
3
a
b
c
a
b
+
b
c
+
c
a
≤
a
b
c
3
≤
a
+
b
+
c
3
,
{\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},}
これは調和平均 、相乗平均 、相加平均 の関係式である[ 1] :p.267 。等号成立条件はa =b =c
ガーファンクルの不等式 （Garfunkel's Inequality）によれば、三角形の頂点と、それぞれ内心 と重心 を結ぶ線分と内接円の交点が成す三角形について、重心の方の三角形の周長は、内心の方の三角形の周長以上である[ 4]
cos
A
+
cos
B
+
cos
C
≤
3
2
.
{\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}
[ 1] :p. 286
(
1
−
cos
A
)
(
1
−
cos
B
)
(
1
−
cos
C
)
≥
cos
A
⋅
cos
B
⋅
cos
C
.
{\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}
[ 2] :p.21,#836
cos
4
A
2
+
cos
4
B
2
+
cos
4
C
2
≤
s
3
2
a
b
c
{\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}
この式の等号成立条件は三角形が正三角形 であるとき[ 2] :p.13,#608 。
a
+
b
+
c
≥
2
b
c
cos
A
+
2
c
a
cos
B
+
2
a
b
cos
C
.
{\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}
[ 5] :Thm.1
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
≤
3
3
2
.
{\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}
[ 1] :p.286
sin
2
A
+
sin
2
B
+
sin
2
C
≤
9
4
.
{\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}
[ 1] :p. 286
sin
A
⋅
sin
B
⋅
sin
C
≤
(
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
3
)
3
≤
(
sin
A
+
B
+
C
3
)
3
=
sin
3
(
π
3
)
=
3
3
8
.
{\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left(\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}
[ 6] :p. 203
sin
A
+
sin
B
⋅
sin
C
≤
φ
{\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi }
[ 2] :p.149,#3297 ここで
φ
=
1
+
5
2
,
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}
黄金比 。
sin
A
2
⋅
sin
B
2
⋅
sin
C
2
≤
1
8
.
{\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.}
[ 1] :p. 286
tan
2
A
2
+
tan
2
B
2
+
tan
2
C
2
≥
1.
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.}
[ 1] :p. 286
cot
A
+
cot
B
+
cot
C
≥
3
.
{\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}
[ 7]
sin
A
⋅
cos
B
+
sin
B
⋅
cos
C
+
sin
C
⋅
cos
A
≤
3
3
4
.
{\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}
[ 2] :p.187,#309.2 R,r について、
max
(
sin
A
2
,
sin
B
2
,
sin
C
2
)
≤
1
2
(
1
+
1
−
2
r
R
)
,
{\displaystyle \max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}
等号成立条件は三角形が頂角60°以上の二等辺三角形であるとき[ 8] :Cor. 3 。
min
(
sin
A
2
,
sin
B
2
,
sin
C
2
)
≥
1
2
(
1
−
1
−
2
r
R
)
,
{\displaystyle \min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}
等号成立条件は三角形が頂角60°以下の二等辺三角形であるとき[ 8] :Cor. 3 。
r
R
−
1
−
2
r
R
≤
cos
A
≤
r
R
+
1
−
2
r
R
{\displaystyle {\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}}
左辺との等号成立条件はB =C B =C [ 8] :Prop. 5 。
次の不等式は角と辺の関係式[ 1] :p. 264 。
A
>
B
if and only if
a
>
b
,
{\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,}
また、A =B a =b 同値 (Pons asinorum 。
外角定理 によれば、次の式が成立する[ 1] :p. 261 。三角形の内部の点D について、
∠
B
D
C
>
∠
A
.
{\displaystyle \angle BDC>\angle A.}
[ 1] :p. 263 鋭角三角形 について、[ 2] :p.26,#954
cos
2
A
+
cos
2
B
+
cos
2
C
<
1
,
{\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}
ただし、鋭角三角形については、逆向きの不等式が成立する。
更に鈍角三角形でない三角形について[ 9] :Corollary 3 、
2
R
+
r
R
≤
2
(
cos
(
A
−
C
2
)
+
cos
(
B
2
)
)
{\displaystyle {\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {A-C}{2}}\right)+\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\right)}
等号成立条件は∠B =90° 。
Klamkinの不等式 によれば、任意の実数x,y,z と非負整数n について、[ 10] [ 11]
x
2
+
y
2
+
z
2
≥
2
(
−
1
)
n
+
1
(
y
z
cos
(
n
A
)
+
z
a
cos
(
n
B
)
+
x
y
cos
(
n
C
)
)
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2(-1)^{n+1}(yz\cos(nA)+za\cos(nB)+xy\cos(nC))}
フランダースの不等式 （Flanders's inequality）またはAbi-Khuzam Inequalityによれば、次の式が成立する[ 12]
sin
A
sin
B
sin
C
≤
(
3
3
2
π
)
3
A
B
C
{\displaystyle \sin A\sin B\sin C\leq ({\frac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }})^{3}ABC}
等号成立は正三角形の場合[ 13]
フランダースの定理の類似物としてYffの不等式 がある[ 14] [ 15] ω はブロカール角 。
8
ω
3
≤
A
B
C
{\displaystyle 8\omega ^{3}\leq ABC}
ヴァイツェンベックの不等式 （英語版 ） [ 1] :p. 290
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
3
⋅
T
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}
等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。また、この不等式はハドヴィッガー・フィンスラー不等式 の不等式の系 である。
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
+
4
3
⋅
T
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}
a
b
+
b
c
+
c
a
≥
4
3
⋅
T
{\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}
[ 16] :p. 138 または、[ 2] :p.192,#340.3 [ 6] :p. 204
T
≤
a
b
c
2
a
+
b
+
c
a
3
+
b
3
+
c
3
+
a
b
c
≤
1
4
3
(
a
+
b
+
c
)
3
(
a
b
c
)
4
a
3
+
b
3
+
c
3
6
≤
3
4
(
a
b
c
)
2
/
3
.
{\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}
最右辺の上界 とAM-GM不等式 を用いれば、三角形の等周不等式 を得る。
T
≤
3
36
(
a
+
b
+
c
)
2
=
3
9
s
2
{\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2}}
[ 6] :p. 203 これを三角形の周長p に置き換えれば
p
2
≥
12
3
⋅
T
,
{\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}
を得る。等号成立条件は正三角形であるとき[ 17]
T
≤
3
4
(
a
b
c
)
2
/
3
.
{\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}
等周不等式 によれば、
4
π
T
≤
(
a
+
b
+
c
)
2
.
{\displaystyle 4\pi T\leq (a+b+c)^{2}.}
更に、ボンネゼンの不等式
π
2
(
R
−
r
)
2
≤
(
a
+
b
+
c
)
2
−
4
π
T
.
{\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.}
また、面積と辺長について
9
a
b
c
a
+
b
+
c
≥
4
3
⋅
T
{\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}
[ 1] :p. 290 [ 16] :p. 138 を得る。等号成立は正三角形。半周長を用いれば次の式が成立する。
38
T
2
≤
2
s
4
−
a
4
−
b
4
−
c
4
{\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}
[ 2] :p.111,#2807 また、
1
a
+
1
b
+
1
c
<
s
T
.
{\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}
[ 2] :p.88,#2188 オノの不等式
27
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
2
(
c
2
+
a
2
−
b
2
)
2
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
≤
(
4
T
)
6
.
{\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}
内接円の面積と三角形の面積の比について、次の式が成り立つ。
Area of incircle
Area of triangle
≤
π
3
3
{\displaystyle {\frac {\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
等号成立は正三角形[ 18]
基準三角形とそれに内接する三角形について、以下の不等式が成立する[ 16] :p. 138 。
Area of inscribed triangle
Area of reference triangle
≤
1
4
.
{\displaystyle {\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.}
基準三角形と内心三角形DEF について、以下の不等式が成立する[ 2] :p.18,#762 。
3
a
b
c
4
(
a
3
+
b
3
+
c
3
)
≤
Area of triangle
D
E
F
Area of triangle
A
B
C
≤
1
4
.
{\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}
三角形の重心 を通る直線は三角形を、基準三角形の4/9以上の面積を持つ三角形に分ける[ 19]
中線 は頂点と、その対辺の中点を通る直線である。中線の長さma ,mb ,mc について、次の式が成り立つ[ 1] :p. 271
3
4
(
a
+
b
+
c
)
<
m
a
+
m
b
+
m
c
<
a
+
b
+
c
.
{\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}
さらに、[ 2] :p.12,#589
(
m
a
a
)
2
+
(
m
b
b
)
2
+
(
m
c
c
)
2
≥
9
4
,
{\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}
等号成立は正三角形。内半径については次の式が成り立つ[ 2] :p.22,#846 。
m
a
m
b
m
c
m
a
2
+
m
b
2
+
m
c
2
≥
r
.
{\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.}
中線を含む外接円の弦の長さをMa ,Mb ,Mc とすれば、次の式が成立する[ 2] :p.16,#689 。
M
a
m
a
+
M
b
m
b
+
M
c
m
c
≥
4.
{\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.}
三角形の重心をG 、circum-medial triangle を△UVW とすれば、
G
U
+
G
V
+
G
W
≥
A
G
+
B
G
+
C
G
{\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}
G
U
⋅
G
V
⋅
G
W
≥
A
G
⋅
B
G
⋅
C
G
;
{\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}
が成立する[ 2] :p.17#723 。加えて、[ 2] :p.156,#S56
sin
G
B
C
+
sin
G
C
A
+
sin
G
A
B
≤
3
2
.
{\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}
鋭角三角形について、[ 2] :p.26,#954
m
a
2
+
m
b
2
+
m
c
2
>
6
R
2
{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}
ただしR は外半径。鈍角三角形では不等式の向きが逆になる。
IA, IB, IC を内心 と各頂点の距離とすると、[ 2] :p.192,#339.3
I
A
2
m
a
2
+
I
B
2
m
b
2
+
I
C
2
m
c
2
≤
4
3
.
{\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {4}{3}}.}
中線の長さを持つ三角形を作ることができる[ 20] :p. 592 。つまり、
m
a
<
m
b
+
m
c
,
m
b
<
m
c
+
m
a
,
m
c
<
m
a
+
m
b
.
{\displaystyle m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b}.}
更に、[ 21] :Coro. 6
max
{
b
m
c
+
c
m
b
,
c
m
a
+
a
m
c
,
a
m
b
+
b
m
a
}
≤
a
2
+
b
2
+
c
2
3
.
{\displaystyle \max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}
頂垂線 の長さha ,hb ,hc について、次の不等式が成立する[ 1] :p. 274 。
h
a
+
h
b
+
h
c
≤
3
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}
h
a
2
+
h
b
2
+
h
c
2
≤
3
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
.
{\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}
加えて、
a
≥
b
≥
c
,
{\displaystyle a\geq b\geq c,}
[ 2] :222,#67
a
+
h
a
≥
b
+
h
b
≥
c
+
h
c
.
{\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}
更に、[ 2] :p.140,#3150
h
a
2
(
b
2
+
c
2
)
⋅
h
b
2
(
c
2
+
a
2
)
⋅
h
c
2
(
a
2
+
b
2
)
≤
(
3
8
)
3
.
{\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.}
内角の二等分線の長さをta ,tb ,tc 、内半径と外半径をそれぞれR,r とすると[ 2] :p.125,#3005 、
h
a
t
a
+
h
b
t
b
+
h
c
t
c
≥
R
+
4
r
R
.
{\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}
頂垂線の長さの逆数の長さを持つ三角形を作ることができる[ 22]
1
h
a
<
1
h
b
+
1
h
c
,
1
h
b
<
1
h
c
+
1
h
a
,
1
h
c
<
1
h
a
+
1
h
b
.
{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}
内角の二等分線の長さ、つまり頂点と、その内角の二等分線と対辺の交点の距離をそれぞれta ,tb ,tc とする。次の式が成立する。
t
a
+
t
b
+
t
c
≤
3
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}
他の長さを用いれば
h
a
≤
t
a
≤
m
a
{\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}
となる[ 1] :pp. 271–3 。更に、 [ 2] :p.224,#132
m
a
+
m
b
+
m
c
≥
t
a
+
t
b
+
t
c
{\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}
h
a
t
a
+
h
b
t
b
+
h
c
t
c
≥
1
+
4
r
R
{\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}
[ 2] :p.125,#3005 Ta ,Tb ,Tc を内角の二等分線を含む外接円の弦の長さとする。このとき、[ 2] :p.11,#535
T
a
T
b
T
c
≥
8
3
9
a
b
c
,
{\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}
等号成立は正三角形。また、
T
a
+
T
b
+
T
c
≤
5
R
+
2
r
{\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}
[ 2] :p.14,#628 等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。更に、次の式が成立する[ 2]
T
a
+
T
b
+
T
c
≥
4
3
(
t
a
+
t
b
+
t
c
)
.
{\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}
内心をI とする。
6
r
≤
A
I
+
B
I
+
C
I
≤
12
(
R
2
−
R
r
+
r
2
)
.
{\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}
[ 2] :p.127,#3033 各辺の中点をL,M,N [ 2] :p.152,#J53
I
L
2
+
I
M
2
+
I
N
2
≥
r
(
R
+
r
)
.
{\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}
正三角形でない三角形の内心をI 、重心 をG 、外心 をO 、九点中心 （英語版 ） N 、垂心 をH とすれば、それらの距離や成す角について以下の式が成立する[ 23] :p.232 。
I
G
<
H
G
,
{\displaystyle IG<HG,}
I
H
<
H
G
,
{\displaystyle IH<HG,}
I
G
<
I
O
,
{\displaystyle IG<IO,}
I
N
<
1
2
I
O
;
{\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}
∠
I
O
H
<
π
6
.
{\displaystyle \angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.}
[ 23] :p.233
I
G
<
1
3
v
,
{\displaystyle IG<{\frac {1}{3}}v,}
[ 23] :p.233, Lemma 3 ただしv は最も長い中線の長さ。
∠
O
I
H
{\displaystyle \angle OIH}
∠
G
I
H
{\displaystyle \angle GIH}
∠
O
G
I
{\displaystyle \angle OGI}
鈍角三角形について、
O
I
2
+
I
H
2
<
O
H
2
,
G
I
2
+
I
H
2
<
G
H
2
,
O
G
2
+
G
I
2
<
O
I
2
,
{\displaystyle OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI^{2}<OI^{2},}
オイラー によって示された次の式は上の2つ目の不等式より、強力である[ 24] [ 25]
O
I
2
<
O
H
2
−
2
⋅
I
H
2
<
2
⋅
O
I
2
.
{\displaystyle OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.}
内角の二等分線の長さの大小と角の大小は対応する[ 26] :p.72,#114 。
If
A
>
B
then
t
a
<
t
b
.
{\displaystyle {\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.}
以下では、三角形の辺の二等分線の三角形の内部における長さpa ,pb ,pc を扱う。ただし
a
≥
b
≥
c
,
{\displaystyle a\geq b\geq c,}
[ 27]
p
a
≥
p
b
{\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}
かつ
p
c
≥
p
b
.
{\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}
点P を三角形の内部の点とする。
2
(
P
A
+
P
B
+
P
C
)
>
A
B
+
B
C
+
C
A
>
P
A
+
P
B
+
P
C
,
{\displaystyle 2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA>PA+PB+PC,}
[ 1] :pp. 275–7 更に一般的に、
A
B
{\displaystyle AB}
c ）が最短辺とすれば、[ 1] :p. 278
P
A
+
P
B
+
P
C
≤
A
C
+
B
C
.
{\displaystyle PA+PB+PC\leq AC+BC.}
トレミーの不等式 [ 2] :p.19,#770
P
A
⋅
B
C
+
P
B
⋅
C
A
>
P
C
⋅
A
B
{\displaystyle PA\cdot BC+PB\cdot CA>PC\cdot AB}
A,B,C,P を並び替えても成立する。
P の三角形の辺に対する垂足をD,E,F とすれば、[ 1] :p. 278
P
A
⋅
P
B
⋅
P
C
≥
(
P
D
+
P
E
)
(
P
E
+
P
F
)
(
P
F
+
P
D
)
.
{\displaystyle PA\cdot PB\cdot PC\geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).}
エルデシュ・モーデルの不等式 [ 28] [ 29]
P
A
+
P
B
+
P
C
P
D
+
P
E
+
P
F
≥
2
{\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PD+PE+PF}}\geq 2}
等号成立条件は正三角形の場合。
更に強い不等式にバローの不等式 ∠APB ,∠BPC , ∠CPA の二等分線とBC,CA,AB の交点をU,V,W として、[ 30]
P
A
+
P
B
+
P
C
P
U
+
P
V
+
P
W
≥
2.
{\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PU+PV+PW}}\geq 2.}
他のエルデシュ・モーデルの不等式より強い不等式に、外接三角形 に対するP の垂足をH, K, L として、[ 31]
P
H
+
P
K
+
P
L
≥
2
(
P
D
+
P
E
+
P
F
)
.
{\displaystyle PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).}
がある。また、
P
H
a
2
+
P
K
b
2
+
P
L
c
2
≥
1
R
{\displaystyle {\frac {PH}{a^{2}}}+{\frac {PK}{b^{2}}}+{\frac {PL}{c^{2}}}\geq {\frac {1}{R}}}
が成り立つ[ 32] [ 2] :p.29,#1045 。
P
A
2
P
E
⋅
P
F
+
P
B
2
P
F
⋅
P
D
+
P
C
2
P
D
⋅
P
E
≥
12
;
{\displaystyle {\frac {PA^{2}}{PE\cdot PF}}+{\frac {PB^{2}}{PF\cdot PD}}+{\frac {PC^{2}}{PD\cdot PE}}\geq 12;}
P
A
P
E
⋅
P
F
+
P
B
P
F
⋅
P
D
+
P
C
P
D
⋅
P
E
≥
6
;
{\displaystyle {\frac {PA}{\sqrt {PE\cdot PF}}}+{\frac {PB}{\sqrt {PF\cdot PD}}}+{\frac {PC}{\sqrt {PD\cdot PE}}}\geq 6;}
P
A
P
E
+
P
F
+
P
B
P
F
+
P
D
+
P
C
P
D
+
P
E
≥
3.
{\displaystyle {\frac {PA}{PE+PF}}+{\frac {PB}{PF+PD}}+{\frac {PC}{PD+PE}}\geq 3.}
(
b
+
c
)
P
A
+
(
c
+
a
)
P
B
+
(
a
+
b
)
P
C
≥
8
T
{\displaystyle (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC\geq 8T}
[ 2] :p.37,#1159
P
A
a
+
P
B
b
+
P
C
c
≥
3
.
{\displaystyle {\frac {PA}{a}}+{\frac {PB}{b}}+{\frac {PC}{c}}\geq {\sqrt {3}}.}
[ 2] :p.26,#965
2
(
P
L
+
P
M
+
P
N
)
≤
3
P
G
+
P
A
+
P
B
+
P
C
≤
s
+
2
(
P
L
+
P
M
+
P
N
)
.
{\displaystyle 2(PL+PM+PN)\leq 3PG+PA+PB+PC\leq s+2(PL+PM+PN).}
任意の正の数k 1 , k 2 , k 3 , t t は1以下）について、[ 33]
k
1
⋅
(
P
A
)
t
+
k
2
⋅
(
P
B
)
t
+
k
3
⋅
(
P
C
)
t
≥
2
t
k
1
k
2
k
3
(
(
P
D
)
t
k
1
+
(
P
E
)
t
k
2
+
(
P
F
)
t
k
3
)
,
{\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2^{t}{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right),}
t > 1 ならば、[ 33] :Thm.2
k
1
⋅
(
P
A
)
t
+
k
2
⋅
(
P
B
)
t
+
k
3
⋅
(
P
C
)
t
≥
2
k
1
k
2
k
3
(
(
P
D
)
t
k
1
+
(
P
E
)
t
k
2
+
(
P
F
)
t
k
3
)
.
{\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right).}
任意の点P に関する不等式は多数存在する[ 34] :p. 109 。
P
A
+
P
B
+
P
C
≥
6
r
.
{\displaystyle PA+PB+PC\geq 6r.}
k = 0, 1, ..., 6について、
P
A
3
+
P
B
3
+
P
C
3
+
k
⋅
(
P
A
⋅
P
B
⋅
P
C
)
≥
8
(
k
+
3
)
r
3
{\displaystyle PA^{3}+PB^{3}+PC^{3}+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)\geq 8(k+3)r^{3}}
[ 35] :pp. 180–1
P
A
2
+
P
B
2
+
P
C
2
+
(
P
A
⋅
P
B
⋅
P
C
)
2
/
3
≥
16
r
2
;
{\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 16r^{2};}
P
A
2
+
P
B
2
+
P
C
2
+
2
(
P
A
⋅
P
B
⋅
P
C
)
2
/
3
≥
20
r
2
;
{\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+2(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 20r^{2};}
k = 0, 1, ..., 9について、
P
A
4
+
P
B
4
+
P
C
4
+
k
(
P
A
⋅
P
B
⋅
P
C
)
4
/
3
≥
16
(
k
+
3
)
r
4
{\displaystyle PA^{4}+PB^{4}+PC^{4}+k(PA\cdot PB\cdot PC)^{4/3}\geq 16(k+3)r^{4}}
(
P
A
⋅
P
B
)
3
/
2
+
(
P
B
⋅
P
C
)
3
/
2
+
(
P
C
⋅
P
A
)
3
/
2
≥
12
R
r
2
;
{\displaystyle (PA\cdot PB)^{3/2}+(PB\cdot PC)^{3/2}+(PC\cdot PA)^{3/2}\geq 12Rr^{2};}
[ 36] :p. 227
(
P
A
⋅
P
B
)
2
+
(
P
B
⋅
P
C
)
2
+
(
P
C
⋅
P
A
)
2
≥
8
(
R
+
r
)
R
r
2
;
{\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 8(R+r)Rr^{2};}
[ 36] :p. 233
(
P
A
⋅
P
B
)
2
+
(
P
B
⋅
P
C
)
2
+
(
P
C
⋅
P
A
)
2
≥
48
r
4
;
{\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 48r^{4};}
[ 36] :p. 233
(
P
A
⋅
P
B
)
2
+
(
P
B
⋅
P
C
)
2
+
(
P
C
⋅
P
A
)
2
≥
6
(
7
R
−
6
r
)
r
3
.
{\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 6(7R-6r)r^{3}.}
[ 36] :p. 233 三角形ABC について、D,E,F を各辺の中点として、
P
A
+
P
B
+
P
C
≤
2
(
P
D
+
P
E
+
P
F
)
+
3
P
G
.
{\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}
[ 37]
オイラーの不等式 外接円 と内接円 の半径をそれぞれR,r として、
R
r
≥
2
,
{\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2,}
等号成立条件は正三角形のとき[ 38] :p. 198 。
より強い不等式に次の形がある[ 6] :p. 198 。
R
r
≥
a
b
c
+
a
3
+
b
3
+
c
3
2
a
b
c
≥
a
b
+
b
c
+
c
a
−
1
≥
2
3
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
≥
2.
{\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}
別の形では[ 2] :p.183,#276.2
r
R
≥
4
a
b
c
−
a
3
−
b
3
−
c
3
2
a
b
c
,
{\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}
右辺は正の値にも負の値にもなり得る。
更に別の形には、次のようなものがある。[ 2] :p.134,#3087
R
r
≥
(
b
+
c
)
3
a
+
(
c
+
a
)
3
b
+
(
a
+
b
)
3
c
≥
2
{\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {(a+b)}{3c}}\geq 2}
(
R
r
)
3
≥
(
a
b
+
b
a
)
(
b
c
+
c
b
)
(
c
a
+
a
c
)
≥
8.
{\displaystyle \left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{c}}\right)\geq 8.}
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
(
a
+
b
+
c
)
2
≤
4
9
(
R
r
−
2
)
.
{\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right).}
[ 2] :p.125,#3004
R
r
≥
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
a
b
+
b
c
+
c
a
;
{\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};}
[ 1] :288
a
3
+
b
3
+
c
3
≤
8
s
(
R
2
−
r
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})}
面積との関係には次の式が挙げられる[ 2] :p.20,#816 。
r
(
r
+
4
R
)
≥
3
⋅
T
{\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}
s
3
≤
r
+
4
R
{\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}
[ 6] :p. 201
s
2
≥
16
R
r
−
5
r
2
{\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}}
[ 2] :p.17#708
2
R
2
+
10
R
r
−
r
2
−
2
(
R
−
2
r
)
R
2
−
2
R
r
≤
s
2
≤
2
R
2
+
10
R
r
−
r
2
+
2
(
R
−
2
r
)
R
2
−
2
R
r
{\displaystyle {\begin{aligned}&2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}\\&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{aligned}}}
[ 6] :p. 206 [ 8] :p. 99 次の二つの不等式は、 最右辺は60°以上の頂角を持つ二等辺三角形で、最左辺は60°以下の頂角を持つ二等辺三角形で成立する。更に正三角形の場合すべての等式が成立する[ 8] :Thm. 1 。
(
R
−
d
)
2
−
r
2
≤
4
R
2
r
2
(
(
R
+
d
)
2
−
r
2
(
R
+
d
)
4
)
≤
a
2
4
≤
Q
≤
(
R
+
d
)
2
−
r
2
,
{\displaystyle (R-d)^{2}-r^{2}\leq 4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R+d)^{2}-r^{2}}{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{2},}
ただし外心が内接円外にあるとき
Q
=
R
2
{\displaystyle Q=R^{2}}
Q
=
4
R
2
r
2
(
(
R
−
d
)
2
−
r
2
(
R
−
d
)
4
)
{\displaystyle Q=4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R-d)^{2}-r^{2}}{(R-d)^{4}}}\right)}
R
r
<
2
+
1.
{\displaystyle {\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.}
[ 39] である。
9
r
2
T
≤
1
a
+
1
b
+
1
c
≤
9
R
4
T
.
{\displaystyle {\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {9R}{4T}}.}
[ 1] :p. 291 Blundonの不等式 によれば[ 6] :p. 206; [ 40] [ 41]
s
≤
(
3
3
−
4
)
r
+
2
R
.
{\displaystyle s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.}
鋭角三角形について、[ 42]
s
>
2
R
+
r
.
{\displaystyle s>2R+r.}
内心をI 、circummidarc triangle の頂点をD,E,F として、[ 2] :p.14,#644
A
I
I
D
+
B
I
I
E
+
C
I
I
F
≥
3.
{\displaystyle {\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.}
角について、 [ 2] :p.193,#342.6
cos
A
⋅
cos
B
⋅
cos
C
≤
(
r
R
2
)
2
.
{\displaystyle \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}
三角形の頂点で外接円に接しさらに対辺と接する円の半径をそれぞれ
R
A
,
R
B
,
R
C
{\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C}}
4
R
≤
1
R
A
+
1
R
B
+
1
R
C
≤
2
r
{\displaystyle {\frac {4}{R}}\leq {\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}}
[ 43] :Thm. 4 また、
9
2
r
≤
R
A
+
R
B
+
R
C
≤
2
R
+
1
2
r
{\displaystyle {\frac {9}{2}}r\leq R_{A}+R_{B}+R_{C}\leq 2R+{\frac {1}{2}}r}
[ 44] どちらも等号成立条件は正三角形であるとき。
外半径をR とする。
18
R
3
≥
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
R
+
a
b
c
3
{\displaystyle 18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}}
[ 2] :p.101,#2625
a
2
/
3
+
b
2
/
3
+
c
2
/
3
≤
3
7
/
4
R
3
/
2
.
{\displaystyle a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.}
[ 2] :p.35,#1130
a
+
b
+
c
≤
3
3
⋅
R
,
{\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,}
9
R
2
≥
a
2
+
b
2
+
c
2
,
{\displaystyle 9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},}
h
a
+
h
b
+
h
c
≤
3
3
⋅
R
{\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}
m
a
2
+
m
b
2
+
m
c
2
≤
27
4
R
2
{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}}
[ 1] :pp. 287–90
a
b
a
+
b
+
b
c
b
+
c
+
c
a
c
+
a
≥
2
T
R
{\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2T}{R}}}
[ 2] :p.26,#957 外心をO 、外心のチェバ三角形 の頂点をU,V,W として、
O
U
+
O
V
+
O
W
≥
3
2
R
.
{\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}
[ 2] :p.17,#718 垂心をH として、鋭角三角形について
O
H
<
R
,
{\displaystyle OH<R,}
[ 2] :p.26,#954 鈍角三角形については、不等号の向きが逆となる。
二つのブロカール点 をB 1 ,B 2 [ 45]
R
≥
2
B
1
B
2
.
{\displaystyle R\geq 2B_{1}B_{2}.}
ライプニッツの不等式 （Leibniz’s Inequality）によれば、[ 46]
a
2
+
b
2
+
c
2
≤
9
R
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}}
r を内接円の半径、ra ,rb ,rc を各傍接円の半径として[ 1] :pp. 289–90
1
a
+
1
b
+
1
c
≤
3
2
r
,
{\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r}},}
9
r
≤
h
a
+
h
b
+
h
c
{\displaystyle 9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}}
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
≥
6
r
{\displaystyle {\sqrt {r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}}\geq 6r}
s
(
a
+
b
+
c
)
≤
2
(
r
a
+
r
b
+
r
c
)
{\displaystyle {\sqrt {s}}({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})\leq {\sqrt {2}}(r_{a}+r_{b}+r_{c})}
[ 2] :p.66,#1678
a
b
c
r
≥
a
3
r
a
+
b
3
r
b
+
c
3
r
c
.
{\displaystyle {\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}}+{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.}
[ 2] :p.183,#281.2
r
a
r
b
m
a
m
b
+
r
b
r
c
m
b
m
c
+
r
c
r
a
m
c
m
a
≥
3.
{\displaystyle {\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.}
[ 2] :p.66,#1680 鋭角三角形の内心と垂心の距離IH について、
I
H
<
r
2
,
{\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}
[ 2] :p.26,#954 鈍角三角形では不等号が逆になる。
更に鋭角三角形について[ 2] :p.26,#954
r
2
+
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
<
8
R
2
,
{\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}
同様に鈍角三角形では不等号が逆になる。
内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれU,V,W として、[ 2] :p.215,32nd IMO,#1
1
4
<
A
I
⋅
B
I
⋅
C
I
A
U
⋅
B
V
⋅
C
W
≤
8
27
.
{\displaystyle {\frac {1}{4}}<{\frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.}
cicummidarc triangleの頂点をX,Y,Z として、[ 2] :p.181,#264.4
1
I
X
+
1
I
Y
+
1
I
Z
≥
3
R
{\displaystyle {\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}}
更に、
0
≤
(
I
X
−
I
A
)
+
(
I
Y
−
I
B
)
+
(
I
Z
−
I
C
)
≤
2
(
R
−
2
r
)
.
{\displaystyle 0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC)\leq 2(R-2r).}
[ 2] :p.181,#264.4 :p.45,#1282 接触三角形 DEF について、[ 2] :p.115,#2875
E
F
2
+
F
D
2
+
D
E
2
≤
s
2
3
{\displaystyle EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leq {\frac {s^{2}}{3}}}
3つの辺が三角形の辺でその角対辺が3辺と平行である、三角形に内接し円に外接する六角形 の周長について[ 2] :p.42,#1245
Perimeter of hexagon
≤
2
3
(
Perimeter of triangle
)
.
{\displaystyle {\text{Perimeter of hexagon}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{Perimeter of triangle}}).}
辺BC,CA,AB 上の点D,E,F によってできる4つの三角形について、以下の式が成立する。また、等号成立条件はD,E,F が各中点であるとき[ 16] :p.137 。
Area(DEF)
≥
min
(
Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)
)
.
{\displaystyle {\text{Area(DEF)}}\geq \min({\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}}).}
鋭角三角形は3つの内接する正方形 を持つ。それぞれ1辺が三角形の辺に含まれ、その端点でない頂点が三角形の他2辺上にある（直角三角形はそのような正方形をただ1つ持つ）。3つのうち2つの、辺の長さをxa , xb （x a x b
1
≥
x
a
x
b
≥
2
2
3
≈
0.94.
{\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}
[ 47] :p. 115 更に、その面積について、[ 2] :p.18,#729 [ 47]
Area of triangle
Area of inscribed square
≥
2.
{\displaystyle {\frac {\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}}}\geq 2.}
二等辺三角形でない三角形について、オイラー線 と内心の距離をd 、最長の中線と辺の長さをそれぞれu,v 、半周長をs として、次の不等式が成立する[ 23] :p. 234, Propos.5 。
d
s
<
d
u
<
d
v
<
1
3
.
{\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}
すべての比について、その最大値 は最右辺の1/3である[ 23] :p.235, Thm.6 。
斜辺c 、他二辺の長さをa,b Iとする直角三角形について、次の式が成立する。等号成立条件は直角二等辺三角形であるとき[ 1] :p. 280 。
a
+
b
≤
c
2
.
{\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}
内接円半径について、次の式が成立する[ 1] :p. 281 。
2
r
≤
c
(
2
−
1
)
,
{\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}
直角からの頂垂線hc について、[ 1] :p. 282
h
c
≤
2
4
(
a
+
b
)
.
{\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b).}
底辺c 、等辺a 、頂角でない角の二等分線の長さをt とする二等辺三角形 について、次の式が成立する[ 2] :p.169,#
η
{\displaystyle \eta }
。
2
a
c
a
+
c
>
t
>
a
c
2
a
+
c
.
{\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}
正三角形ABC と、その外接円上にない任意の点P について、次の式が成立する（ポンペイウの定理 [ 1] :p. 279 。
P
A
+
P
B
>
P
C
,
P
B
+
P
C
>
P
A
,
P
C
+
P
A
>
P
B
.
{\displaystyle PA+PB>PC,\quad PB+PC>PA,\quad PC+PA>PB.}
P が外接円上にある場合、ファン・スコーテンの定理 である。
任意の点P において、三角形ABC の各辺の距離PD,PE,PF と各頂点との距離PA,PB,PC が次の式を満たす場合、ABC は正三角形である[ 2] :p.178,#235.4 。
4
(
P
D
2
+
P
E
2
+
P
F
2
)
≥
P
A
2
+
P
B
2
+
P
C
2
.
{\displaystyle 4(PD^{2}+PE^{2}+PF^{2})\geq PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}.}
ピドーの不等式 （英語版 ） T 、辺長a,b,c の三角形と面積S 、辺長d,e,f の三角形について、以下の不等式が成立する。
d
2
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
+
e
2
(
a
2
+
c
2
−
b
2
)
+
f
2
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
≥
16
T
S
,
{\displaystyle d^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+e^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+f^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16TS,}
等号成立条件は二つの三角形が相似 であるとき。
Hinge theorem (Hinge theorem によれば、2つの三角形の二辺が合同であるとき、その成す角の大きさと3つ目の辺の大小は一致する。 つまり△ABC ,△DEF （それぞれ辺長がa,b,c 、d,e,f ）について、a = d , b = e , F < C
c
>
f
.
{\displaystyle c>f.}
逆a = d , b = e , f < c ⇒ F < C
任意の2つの三角形△ABC ,△DEF の角の余接 について、次の式が成立する[ 7]
cot
A
(
cot
E
+
cot
F
)
+
cot
B
(
cot
F
+
cot
D
)
+
cot
C
(
cot
D
+
cot
E
)
≥
2.
{\displaystyle \cot A(\cot E+\cot F)+\cot B(\cot F+\cot D)+\cot C(\cot D+\cot E)\geq 2.}
楕円幾何学 のように、球面 における三角形の内角について、次の式が成り立つ。
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
>
180
∘
.
{\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C>180^{\circ }.}
この不等式は双曲三角形 （英語版 ）
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![{\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddd0fe433bcb329c679ab1f4869ac1e5616e7f4)
![{\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0efa5672c60300c4f1deed39c921a34da691107)
