ボンネゼンの不等式

ボンネゼンの不等式 （ボンネゼンのふとうしき、英: Bonnesen's inequality）またはボンネゼンの定理はジョルダン曲線の外接円と内接円、面積、周長に関する不等式である。ユークリッド平面における等周不等式より強力である。

具体的には、平面上の単純な閉曲線$S$の周長を$L$、面積を$A$、内接円と外接円の半径をそれぞれ$r,R$とする。トミー・ボンネゼンは次の不等式を証明した。 $$\pi ^{2}(R-r)^{2}\leq L^{2}-4\pi A.$$右辺の$L^{2}-4\pi A$は"isoperimetric defect"として知られる。

レヴナーのトーラス不等式におけるisosystolic defectはボンネゼンの不等式のisoperimetric defectのシストリックな類似物である。

証明

次の証明はヒューゴ・ハドヴィッガーに帰せられる。原点中心、半径tの円を$tB$とする。また、関数${\text{Area}}(x)$を閉集合xの面積とする。

図1

内接円$rB$と外接円$C$の半径がそれぞれ$r,R$である凸コンパクト集合$S$を考える。図1では、$S$を紫色の正方形、内接円を緑色、外接円を青色で示してある。$S$に含まれず、$C$に含まれる部分を$Z$とする。ミンコフスキー和$Z+rB$の面積と半径$r+R$の円（図1,黄）について

$${\text{Area}}(Z+rB)=\pi (r+R)^{2}$$

が成立する。

図2

次に内接円、外接円の中心を通る直線Δで$Z$を半分に切断する。上の部分を$Z_{s}$とする。$Z_{s},rB$のミンコフスキー和は半径$r+R$の半円板と図2の様な薄黄色の部分の和集合になる。l₁,l₂を$Z$とΔの2つの交わる部分の長さとして次の式が成立する。 $${\text{Area}}(Z_{s}+rB)={\frac {1}{2}}\pi (r+R)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}$$ この等式にミンコフスキー・シュタイナーの公式を用いて値を評価する。ただし$Z_{s}$は凸集合ではないため、右辺は極限値とはならない。 $${\text{Area}}(Z_{s}+rB)={\frac {1}{2}}\pi (r+R)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq {\text{Area}}(Z_{s})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{s})r+\pi r^{2}$$ ここで$p_{s}$は、$S$上部の周長。 下部についても同様にした式と、この式を辺々加えて $$\pi (r+R)^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+2\pi r^{2}\leq {\text{Area}}(Z)+2\pi rR+2(l_{1}+l_{2})r+pr+2\pi r^{2}$$ $$\pi (r+R)^{2}+\leq {\text{Area}}(Z)+2\pi rR+pr$$ ここでpは$S$の周長。また、$Z$の面積は外接円板と$S$の面積aの差に等しいので、 $$\pi (r+R)^{2}\leq \pi R^{2}-a+2\pi Rr+pr$$ $$\therefore a-pr+\pi r^{2}\leq 0.$$

これは面積$S+tB$についての2次多項式$f(t)=\pi t^{2}-pt+a$に、内接円半径$r$を代入した値が負になることを意味する。

上記と全く同様の議論で、外接円半径$R$についても同様の結論を得る。

$$a-pR+\pi R^{2}\leq 0.$$

この2つの不等式より、さらに次の不等式が成立する。 $${\frac {p-{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}\leq r\leq R\leq {\frac {p+{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}.$$

これを変形して、 $$R-r\leq {\frac {\sqrt {p^{2}-4\pi a}}{\pi }}$$ $$\therefore p^{2}-4\pi a\geq \pi ^{2}(R-r)^{2}.$$