ミンコフスキー・シュタイナーの公式

ミンコフスキー・シュタイナーの公式（シュタイナー・ミンコフスキーのこうしき、英: Minkowski–Steiner formula）は、数学におけるユークリッド空間のコンパクト部分集合の表面積と体積に関連する公式。適切な意味で表面積を体積の"導関数"として定義する。ヘルマン・ミンコフスキーとヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

n=2における公式の図解

ミンコフスキー・シュタイナーの公式は、ブルン・ミンコフスキーの定理とともに等周不等式を証明するために使用される。

主張

$n\geq 2$において、$A\subsetneq \mathbb {R} ^{n}$をコンパクト集合、$\mu (A)$を$A$のルベーグ測度（体積）とする。ミンコフスキー・シュタイナーの公式によって数量$\lambda (\partial A)$を次のように定義する。

$\lambda (\partial A):=\liminf _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu (A)}{\delta }},$

ここで

${\overline {B_{\delta }}}:=\left\{x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\left||x|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\leq \delta \right.\right\}$

は半径$\delta >0$の球体で、

$A+{\overline {B_{\delta }}}:=\left\{a+b\in \mathbb {R} ^{n}\left|a\in A,b\in {\overline {B_{\delta }}}\right.\right\}$

は$A$と${\overline {B_{\delta }}}$のミンコフスキー和

$A+{\overline {B_{\delta }}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}{\mathrel {|}}\ {\mathopen {|}}x-a{\mathclose {|}}\leq \delta {\mbox{ for some }}a\in A\right\}.$

とする。

備考

表面測度

"十分素性の良い"集合$A$について、数量$\lambda (\partial A)$は確かに$A$の境界$\partial A$の$(n-1)$次元の測度に対応する。フェデラー (1969)はこの問題を完全に解決している。

凸集合

$A$が凸集合であるとき、上記の上極限は真に極限となる。これは

$\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)=\mu (A)+\lambda (\partial A)\delta +\sum _{i=2}^{n-1}\lambda _{i}(A)\delta ^{i}+\omega _{n}\delta ^{n},$

を示すことができる。ここで$\lambda _{i}$は$A$のある連続写像（Quermassintegralsを見よ）で、$\omega _{n}$は$\mathbb {R} ^{n}$の単位球の測度（体積）である。

$\omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\Gamma (n/2)}},$

単位球面の体積はガンマ関数$\Gamma$を用いて上の式で表される。

例

$A={\overline {B_{R}}}$とすると、次の半径$R$の球面の表面積と体積に関する有名公式を得られる。 $S_{R}:=\partial B_{R}$について、

$\lambda (S_{R})=\lim _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left({\overline {B_{R}}}+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu \left({\overline {B_{R}}}\right)}{\delta }}$

$=\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R+\delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}$

$=nR^{n-1}\omega _{n},$

出典

• Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2 
• Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. New-York: Springer-Verlag