混合体積

凸幾何学における混合体積（こんごうたいせき、mixed volume）とは、$\mathbb {R} ^{n}$上のいくつかの凸体の組と非負数を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

定義

$K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}$を$\mathbb {R} ^{n}$上の凸体とする。次の関数を考える。

$f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,$

ここで${\text{Vol}}_{n}$は$n$次元体積、${\text{Vol}}_{n}$内の加法は拡大縮小された$K_{i}$に関するミンコフスキー和である。$f$は$n$次斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。

$f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},$

ただし、$V$は対称関数である。インデックス$j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}$ について、係数$V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})$を$K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}$の混合体積という。

性質

• 混合体積は次の3つの性質で特徴づけられる。

1. $V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)$
2. $V$ は対称関数。
3. $V$は多重線型形。つまり、$\lambda ,\lambda '\geq 0$について、$V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})$

• 混合体積は非負で、各変数において単調増加。つまり$K_{1}\subseteq K_{1}'$とすれば、 $V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})$。
• アレクサンドル・アレクサンドロフとヴェルナー・フェンシェルの発見によれば、次の不等式が成立する（アレクサンドロフ＝フェンシェル不等式）。

$V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

ブルン＝ミンコフスキーの不等式や凸体におけるミンコフスキーの第一不等式のような多くの不等式は、このアレクサンドロフ＝フェンシェル不等式の系である。

Quermassintegrals

$K\subset \mathbb {R} ^{n}$を凸体、$B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$を単位球とする。

$W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})$

は$K$の j-th quermassintegral と呼ばれる。

混合体積の定義よりシュタイナーの公式（Steiner formula）と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.$

Intrinsic volumes

$K$の j-th intrinsic volume はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。

$V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},$

つまり、

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).$

ここで$\kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})$は、$(n-j)$次元単位球の体積。

ハドヴィガーの定理

→詳細は「ハドヴィガーの定理」を参照

ハドヴィガーの定理は、$\mathbb {R} ^{n}$内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral（またはintrinsic volume）の線型結合で表すことができることを主張する。

外部リンク

• Burago, Yu.D. (2001), “Mixed-volume theory”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Mixed-volume_theory 
• 数学特別講義 特異点入門
• 等周不等式について