ファン・スコーテンの定理

ファン・スコーテンの定理（ファン・スコーテンのていり、英語: Van Schooten's theorem）とはオランダの数学者、フランス・ファン・スコーテンに由来して名づけられた、正三角形に関する定理である。

$|PA|=|PB|+|PC|$

正三角形$\triangle ABC$ とその外接円上の点 $P$ について$PA,PB,PC$ のうち最も長いものの長さは、他二つの長さの和と等しい。

この定理はトレミーの定理の系である。 $a$ を正三角形$\triangle ABC$の辺の長さ、$PA$を$PA,PB,PC$のうち最も長い辺とすれば、トレミーの定理によって以下の様に書くことができる。

${\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}$

一般化

正奇数角形

正2n+1角形$A_{1}A_{2}...A_{2n+1}$の外接円の弧${\widehat {A_{1}A_{2n+1}}}$上の点$P$について、

$\sum _{k=0}^{n}\left|A_{2k+1}P\right|=\sum _{k=1}^{n}\left|A_{2k}P\right|$

が成立する。

例

正五角形$ABCDE$の外接円の弧${\widehat {AE}}$上の点$P$について、

$\left|AP\right|+\left|CP\right|+\left|EP\right|=\left|BP\right|+\left|DP\right|$

が成立する。

一般の三角形

Bui Quang Tuanによる一般化を紹介する。△ABCとその外接円上の点Pについて、PとBC, CA, ABの距離をそれぞれd_a, d_b, d_cとすれば、BC/d_a, CA/d_b, AB/d_cのうち、最も長いものの長さは、そのほかの2つの長さの和と等しい。 さらに、円内接多角形X₁X₂X₃...X_nについて、その外接円の弧X₁X₂上の点Pを作る。このとき、Pと辺X_iX_i+1の距離をd_iとすれば、

${\frac {X_{1}X_{2}}{d_{1}}}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {X_{i}X_{i+1}}{d_{i}}}$

が成立する（X_n+1 = X₁とする）。

参考文献

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 102–103
• Doug French: Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , pp. 62–64
• Raymond Viglione: Proof Without Words: van Schooten′s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (April 2016), p. 132
• Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117

関連項目

• フェルマー点
• ケイシーの定理
• 三角不等式
• ポンペイウの定理
• エルデシュ・モーデルの不等式

外部リンク

• Van Schooten's theorem at cut-the-knot.org