頂角
O
{\displaystyle O}
D
,
E
{\displaystyle D,E}
P
{\displaystyle P}
O
{\displaystyle O}
直交座標 系を描く。
E
{\displaystyle E}
x
{\displaystyle x}
D
{\displaystyle D}
y
=
m
x
(
m
≠
0
)
{\displaystyle y{=}mx\ (m\neq 0)}
m
{\displaystyle m}
∠
D
O
E
{\displaystyle \angle DOE}
正接 となる。
∠
D
O
E
{\displaystyle \angle DOE}
P
{\displaystyle P}
(
P
x
,
P
y
)
{\displaystyle (P_{x},P_{y})}
E
=
(
E
x
,
0
)
{\displaystyle E=(E_{x},0)}
D
=
(
D
x
,
D
y
)
=
(
D
x
,
m
D
x
)
{\displaystyle D=(D_{x},D_{y})=(D_{x},mD_{x})}
傾き
α
≠
0
{\displaystyle \alpha \neq 0}
(
x
,
y
)
=
(
P
x
,
P
y
)
{\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})}
y
=
α
(
x
−
P
x
)
+
P
y
.
{\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}.}
である。この直線と
x
{\displaystyle x}
α
(
x
−
P
x
)
+
P
y
=
0
{\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=0}
を解けばよく、
E
{\displaystyle E}
(
E
x
,
E
y
)
=
(
P
x
−
P
y
α
,
0
)
.
{\displaystyle (E_{x},E_{y})=\left(P_{x}-{\frac {P_{y}}{\alpha }},0\right).}
となる。
α
≠
m
{\displaystyle \alpha \neq m}
y
=
m
x
{\displaystyle y=mx}
α
(
x
−
P
x
)
+
P
y
=
m
x
{\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=mx}
を解くことで
(
D
x
,
D
y
)
=
(
α
P
x
−
P
y
α
−
m
,
m
α
P
x
−
P
y
α
−
m
)
.
{\displaystyle (D_{x},D_{y})=\left({\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}},m{\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}}\right).}
とわかる。
D
,
E
{\displaystyle D,E}
ユークリッド距離 の自乗 は次の式により求めることができる。
E
D
2
=
d
2
=
(
E
x
−
D
x
)
2
+
(
E
y
−
D
y
)
2
=
m
2
(
α
P
x
−
P
y
)
2
(
1
+
α
2
)
α
2
(
α
−
m
)
2
.
{\displaystyle ED^{2}=d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {m^{2}(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}.}
α
{\displaystyle \alpha }
D
E
{\displaystyle DE}
導関数
∂
d
2
/
∂
α
=
0
{\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}
α
{\displaystyle \alpha }
−
2
m
2
(
P
x
α
−
P
y
)
[
(
m
P
x
−
P
y
)
α
3
+
P
x
α
2
−
2
P
y
α
+
P
y
m
]
α
3
(
α
−
m
)
3
=
0.
{\displaystyle -2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.}
整理して、
(
m
P
x
−
P
y
)
α
3
+
P
x
α
2
−
2
P
y
α
+
P
y
m
=
0
{\displaystyle (mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m=0}
この式は、
P
{\displaystyle P}
直線束 の中で最短の線分の傾きを決定する。ただし、全体の最小値 は
α
=
P
y
/
P
x
{\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}
y
=
m
x
{\displaystyle y=mx}
x
{\displaystyle x}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
−
α
{\displaystyle -\alpha }
∠
O
E
D
{\displaystyle \angle OED}
α
1
=
P
y
/
(
P
x
−
E
x
)
{\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}
E
x
{\displaystyle E_{x}}
三次多項式
m
x
3
+
(
2
P
y
−
3
m
P
x
)
x
2
+
3
P
x
(
m
P
x
−
P
y
)
x
−
(
m
P
x
−
P
y
)
(
P
x
2
+
P
y
2
)
.
{\displaystyle mx^{3}+(2P_{y}-3mP_{x})x^{2}+3P_{x}(mP_{x}-P_{y})x-(mP_{x}-P_{y})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}).}
の根となる。したがってこの三次方程式 を解くことはフィロー線と
x
{\displaystyle x}
ピエール・ヴァンツェル の発見によれば、非自明な三次方程式の根は定規とコンパスによる作図 ができないため、フィロー線も作図することはできない。
また方程式の解を次式に代入すれば、フィロー線の長さを得る。
d
2
=
P
y
2
+
x
2
−
2
x
P
x
+
P
x
2
(
P
y
+
m
x
−
m
P
x
)
2
x
2
m
2
.
{\displaystyle d^{2}={\frac {P_{y}^{2}+x^{2}-2xP_{x}+P_{x}^{2}}{(P_{y}+mx-mP_{x})^{2}}}x^{2}m^{2}.}
O
Q
{\displaystyle OQ}
E
D
{\displaystyle ED}
垂線 であるから、その傾きは
−
1
/
α
{\displaystyle -1/\alpha }
O
Q
{\displaystyle OQ}
y
=
−
x
/
α
{\displaystyle y=-x/\alpha }
Q
=
(
Q
x
,
Q
y
)
{\displaystyle Q=(Q_{x},Q_{y})}
y
=
α
(
x
−
P
x
)
+
P
y
{\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}}
α
(
x
−
P
x
)
+
P
y
=
−
x
/
α
{\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=-x/\alpha }
Q
x
=
(
α
P
x
−
P
y
)
α
1
+
α
2
{\displaystyle Q_{x}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})\alpha }{1+\alpha ^{2}}}}
Q
y
=
−
Q
x
/
α
=
P
y
−
α
P
x
1
+
α
2
{\displaystyle Q_{y}=-Q_{x}/\alpha ={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{1+\alpha ^{2}}}}
となる。また、
D
(
D
x
,
D
y
)
{\displaystyle D(D_{x},D_{y})}
Q
{\displaystyle Q}
D
Q
2
=
(
D
x
−
Q
x
)
2
+
(
D
y
−
Q
y
)
2
=
(
α
P
x
−
P
y
)
2
(
1
+
α
m
)
2
(
1
+
α
2
)
(
α
−
m
)
2
{\displaystyle DQ^{2}=(D_{x}-Q_{x})^{2}+(D_{y}-Q_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha m)^{2}}{(1+\alpha ^{2})(\alpha -m)^{2}}}}
で、
E
{\displaystyle E}
P
{\displaystyle P}
E
P
2
≡
(
E
x
−
P
x
)
2
+
(
E
y
−
P
y
)
2
=
P
y
2
(
1
+
α
2
)
α
2
{\displaystyle EP^{2}\equiv (E_{x}-P_{x})^{2}+(E_{y}-P_{y})^{2}={\frac {P_{y}^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}}
で表される。差を取って
D
Q
2
−
E
P
2
=
[
(
P
x
m
+
P
y
)
α
3
+
(
P
x
−
2
P
y
m
)
α
2
−
P
y
m
]
[
(
P
x
m
−
P
y
)
α
3
+
P
x
α
2
−
2
P
y
α
+
P
y
m
]
α
2
(
1
+
α
2
)
(
a
−
m
)
2
{\displaystyle DQ^{2}-EP^{2}={\frac {[(P_{x}m+P_{y})\alpha ^{3}+(P_{x}-2P_{y}m)\alpha ^{2}-P_{y}m][(P_{x}m-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{2}(1+\alpha ^{2})(a-m)^{2}}}}
α
{\displaystyle \alpha }
三次方程式 より、この式の表す値は0 になり
D
Q
=
P
E
{\displaystyle DQ=PE}
(
x
,
y
)
=
(
P
x
,
P
y
)
(
P
x
,
P
y
>
0
)
{\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})\quad (P_{x},P_{y}>0)}
α
{\displaystyle \alpha }
∠
D
O
E
{\displaystyle \angle DOE}
直角 であるとき、
m
→
∞
{\displaystyle m\to \infty }
D
O
{\displaystyle DO}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
α
{\displaystyle \alpha }
y
{\displaystyle y}
α
(
−
P
x
)
+
P
y
{\displaystyle \alpha (-P_{x})+P_{y}}
である。したがって、交点
D
{\displaystyle D}
(
D
x
,
D
y
)
=
(
0
,
P
y
−
α
P
x
)
.
{\displaystyle (D_{x},D_{y})=(0,P_{y}-\alpha P_{x}).}
となる。
D
,
E
{\displaystyle D,E}
ユークリッド距離 の自乗 は次の式により求めることができる。
d
2
=
(
E
x
−
D
x
)
2
+
(
E
y
−
D
y
)
2
=
(
α
P
x
−
P
y
)
2
(
1
+
α
2
)
α
2
.
{\displaystyle d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}.}
α
{\displaystyle \alpha }
D
E
{\displaystyle DE}
導関数
∂
d
2
/
∂
α
=
0
{\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}
α
{\displaystyle \alpha }
2
(
P
x
α
−
P
y
)
(
P
x
α
3
+
P
y
)
α
3
=
0
{\displaystyle 2{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})(P_{x}\alpha ^{3}+P_{y})}{\alpha ^{3}}}=0}
を解くことで得られる。
α
=
P
y
/
P
x
{\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}
α
=
−
P
y
/
P
x
3
{\displaystyle \alpha =-{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}}
である。したがってフィロー線の長さは
d
=
P
y
−
α
P
x
|
α
|
1
+
α
2
=
P
x
[
1
+
(
P
y
/
P
x
)
2
/
3
]
3
/
2
.
{\displaystyle d={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{|\alpha |}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}=P_{x}[1+(P_{y}/P_{x})^{2/3}]^{3/2}.}
α
1
=
P
y
/
(
P
x
−
E
x
)
{\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}
E
{\displaystyle E}
x
{\displaystyle x}
E
x
=
P
x
+
P
y
P
y
/
P
x
3
.
{\displaystyle E_{x}=P_{x}+P_{y}{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}.}
三角法を用いたフィロン線の性質の証明
O
Q
{\displaystyle OQ}
三角関数 を用いて、辺の長さを次のように表せる。ここで、
∠
P
O
Q
=
φ
,
∠
D
O
E
=
θ
b
,
∠
D
O
Q
=
θ
c
,
O
Q
=
h
,
O
P
=
a
{\displaystyle \angle POQ=\varphi ,\angle DOE=\theta _{b},\angle DOQ=\theta _{c},OQ=h,OP=a}
D
Q
=
h
tan
(
θ
c
−
φ
)
{\displaystyle DQ=h\tan(\theta _{c}-\varphi )}
Q
E
=
h
tan
(
θ
b
+
φ
)
{\displaystyle QE=h\tan(\theta _{b}+\varphi )}
P
Q
=
h
tan
(
φ
)
{\displaystyle PQ=h\tan(\varphi )}
E
P
=
h
tan
(
θ
b
+
φ
)
−
h
tan
(
φ
)
{\displaystyle EP=h\tan(\theta _{b}+\varphi )-h\tan(\varphi )}
h
=
a
cos
(
φ
)
{\displaystyle h=a\cos(\varphi )}
これらより
D
E
=
L
(
φ
)
=
a
cos
(
φ
)
(
tan
(
θ
c
−
φ
)
+
tan
(
θ
b
+
φ
)
)
{\displaystyle DE=L(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)}
を得る。次に
L
(
φ
)
{\displaystyle L(\varphi )}
導関数 を求める。
L
′
(
φ
)
=
a
cos
(
φ
)
(
−
tan
2
(
θ
c
−
φ
)
+
tan
2
(
θ
b
+
φ
)
)
−
a
sin
(
φ
)
(
tan
(
θ
c
−
φ
)
+
tan
(
θ
b
+
φ
)
)
{\displaystyle L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(-\tan ^{2}(\theta _{c}-\varphi )+\tan ^{2}(\theta _{b}+\varphi )\right)-a\sin(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)}
L
′
(
φ
)
=
a
cos
(
φ
)
(
tan
(
θ
c
−
φ
)
+
tan
(
θ
b
+
φ
)
)
(
−
tan
(
θ
c
−
φ
)
+
tan
(
θ
b
+
φ
)
−
tan
(
φ
)
)
{\displaystyle L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)}
L
′
(
φ
)
=
L
(
φ
)
(
−
tan
(
θ
c
−
φ
)
+
tan
(
θ
b
+
φ
)
−
tan
(
φ
)
)
=
1
h
L
(
φ
)
(
P
E
−
Q
D
)
{\displaystyle L'(\varphi )=L(\varphi )\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)={\frac {1}{h}}L(\varphi )(PE-QD)}
D
E
,
h
>
0
{\displaystyle DE,h>0}
P
E
=
Q
D
{\displaystyle PE=QD}
フィロー線は立方体倍積問題 の解決に用いられる。立方体倍積問題は2 の立方根 が作図可能 かという問題に帰着しする。これがフィロー線を定義したフィロンの目的であった[ 10]
P
Q
:
Q
R
=
1
:
2
{\displaystyle PQ:QR=1:2}
長方形
P
Q
R
S
{\displaystyle PQRS}
T
U
{\displaystyle TU}
∠
Q
R
S
{\displaystyle \angle QRS}
P
{\displaystyle P}
V
{\displaystyle V}
R
{\displaystyle R}
T
U
{\displaystyle TU}
垂線 の足とすれば、三角形
R
V
P
{\displaystyle RVP}
R
P
{\displaystyle RP}
直径 とする円（長方形
P
Q
R
S
{\displaystyle PQRS}
外接円 ）に内接 する。
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
Q
R
{\displaystyle QR}
三角形と比の定理 から
R
S
=
P
Q
{\displaystyle RS=PQ}
R
W
=
Q
U
{\displaystyle RW=QU}
W
U
=
R
Q
{\displaystyle WU=RQ}
直角三角形
P
Q
U
{\displaystyle PQU}
R
W
V
{\displaystyle RWV}
V
W
U
{\displaystyle VWU}
相似 である。これらを用いることによって
R
S
:
R
W
=
P
Q
:
Q
U
=
R
W
:
W
V
=
W
V
:
W
U
=
W
V
:
R
Q
{\displaystyle RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ}
特に
R
S
:
R
W
=
R
W
:
W
V
=
W
V
:
R
Q
{\displaystyle RS:RW=RW:WV=WV:RQ}
P
Q
:
Q
R
=
1
:
2
{\displaystyle PQ:QR=1:2}
1
:
2
3
{\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}
[ 11]
P
Q
:
Q
R
=
a
:
b
{\displaystyle PQ:QR=a:b}
a
3
:
b
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}:{\sqrt[{3}]{b}}}
立方体倍積問題 が定規とコンパスによる作図 では不可能であることから、フィロー線の作図不可能性が証明された[ 7] [ 9]
円と双曲線の交点を結ぶ直線として得られるフィロー線
R
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle R=(0,0)}
Q
,
S
{\displaystyle Q,S}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
V
,
P
{\displaystyle V,P}
(
a
2
b
3
,
a
b
2
3
)
,
(
a
b
2
3
,
a
2
b
3
)
{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{a^{2}b}},{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}),({\sqrt[{3}]{ab^{2}}},{\sqrt[{3}]{a^{2}b}})}
V
,
P
{\displaystyle V,P}
外接円 と双曲線
x
y
=
a
b
{\displaystyle xy=ab}
円錐曲線 を描くことができる場合は、これと同様にしてフィロー線を得られる。
Weisstein, Eric W. "Philo Line" . mathworld.wolfram.com (英語). 
![{\displaystyle -2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5894d318d5024dcc569825bce992287490fbec1d)
![{\displaystyle DQ^{2}-EP^{2}={\frac {[(P_{x}m+P_{y})\alpha ^{3}+(P_{x}-2P_{y}m)\alpha ^{2}-P_{y}m][(P_{x}m-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{2}(1+\alpha ^{2})(a-m)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f30e1754fe82d5c1b0adabe50720b8897b9da3)
![{\displaystyle \alpha =-{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54f5f73a2943c283295ab20c6587b8e55455974)
![{\displaystyle d={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{|\alpha |}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}=P_{x}[1+(P_{y}/P_{x})^{2/3}]^{3/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dc5a5e2ae1110b8c3fc3096f20a9705f6a4c64)
![{\displaystyle E_{x}=P_{x}+P_{y}{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a564c192acb757d2a297eceaf54dfdeb190a76)
.svg)
![{\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4d47d283ee2ebdd6a6a3379b04758d8fe35861)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}:{\sqrt[{3}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c460776be300d309dca475fd44335c4bbd99bc23)
.svg)
![{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{a^{2}b}},{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}),({\sqrt[{3}]{ab^{2}}},{\sqrt[{3}]{a^{2}b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea44aca7bfb6e49fe8a7254b04d209b9baed28d)
![{\displaystyle -{\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})[(mP_{x}-2P_{y})\alpha +P_{y}m]}{2\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f3e16c679fe842a6bbe15ef7146191876e06e5)
