三次方程式 （さんじほうていしき、英 : cubic equation ）とは、次数 が 3 である代数方程式 のことである。本項目では主に、実数 を係数 とする一変数の三次方程式を扱う。
一般に一変数の三次方程式は
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
(
a
3
≠
0
)
{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{3}\neq 0)}
の形で表現される。現代においては、三次方程式の解法といえば、主に代数的解法 のことを意味する。
古代バビロニア において既に代数的に解かれていたと考えられている二次方程式 と違い、三次方程式が代数的に解かれたのは16世紀 になってからである。11世紀 頃、円錐曲線による作図 によって三次方程式の解を幾何学的に表したウマル・ハイヤーム なども、三次方程式を代数的に解くことはできないと考えていた。
三次方程式の代数的解法はガロア理論 へと至る代数方程式論の始まりであり、カルダノ が著書『アルス・マグナ 』によって三次方程式と四次方程式 の代数的解法を公表した1545年 は、その影響の大きさから現代数学の始まりの年とされることもある。
まだ負 の数が数学者達にあまり受け入れられていなかった時代であり、全ての係数が正の数であるとして扱われたために、例えば、2次の項が無い三次方程式は
x 3 = a 1 x + a 0 x 3 + a 1 x = a 0 x 3 + a 0 = a 1 x の3つがあり、いずれも別の形の方程式とされた。
このように負の数ですら嫌悪された時代に、三次方程式の代数的解法は虚数 をもたらした。三次方程式の解が全て正の実数である場合に限っても、代数的解法にこだわる限り虚数を避けては通れないのである。虚数に対する不安は、19世紀 にコーシー やガウス が活躍するようになるまで続いた。
また、三次方程式と四次方程式の代数的解法の発見を基に、数学者達は 5 次以上の一般の代数方程式の代数的解法を追い求めた。最終的にこの代数的解法の存在は、アーベル-ルフィニの定理 によって否定されるものの、ガロア理論 として結実し、群 や体 などの基本的な代数的構造 の概念を生み出した。
三次方程式は、代数学の基本定理 より、高々 3個の複素数 解を持つ。中間値の定理 より、実数を係数とする三次方程式は、少なくとも 1つの実数解を持つことが分かる。
a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 3 ≠ 0)が重解 を持つ場合、その重解は、左辺を x で微分 して得られる二次方程式
3 a 3 x 2 + 2 a 2 x + a 1 = 0 の解でもあるため、比較的容易に三次方程式を解くことができる。重解以外の残りの解も実数である。
虚数 解を持つ場合は、その共役複素数 も解となり、残りの解は実数である。
三次方程式 a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 3 ≠ 0)判別式 D は
D = − 4 a 1 3 a 3 + a 1 2 a 2 2 − 4 a 0 a 2 3 + 18 a 0 a 1 a 2 a 3 − 27 a 0 2 a 3 2 となる。
判別式を計算すれば、具体的に根を求めなくても
D > 0D < 0虚数 解を持つ。D = 0ということが分かる。D = 0
⊿ 2 = − 2 a 2 3 + 9 a 1 a 2 a 3 − 27 a 0 a 3 2 と定義すれば ⊿ 2 = 0⊿ 2 ≠ 0⊿ 2 > 0⊿ 2 < 0
一般の三次方程式の代数的解法は、カルダノ の方法カルダノの公式 として知られている。
a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 3 ≠ 0)の両辺を a 3
x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0の形にする。(
A
n
=
a
n
a
3
{\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{3}}}}
x
=
y
−
A
2
3
{\displaystyle x=y-{\frac {A_{2}}{3}}}
により変数変換を行うと、2次の項が消え、
y
3
+
(
A
1
−
A
2
2
3
)
y
+
(
A
0
−
1
3
A
1
A
2
+
2
27
A
2
3
)
=
0
{\displaystyle y^{3}+\left(A_{1}-{\frac {{A_{2}}^{2}}{3}}\right)y+\left(A_{0}-{\frac {1}{3}}A_{1}A_{2}+{\frac {2}{27}}{A_{2}}^{3}\right)=0}
という三次方程式が得られる。見やすいように一次の係数を p , 定数項を q とし
y 3 + p y + q = 0と書く。
ここで y = u + v
u 3 + v 3 + q + (3uv + p )(u + v ) = 0未知数 u , v
u 3 + v 3 + q = 03uv + p = 0 となることが十分であるが、この十分条件を満たす u , v 根と係数の関係 より、u 3 , v 3 二次方程式 は
t
2
+
q
t
−
(
p
3
)
3
=
0
{\displaystyle t^{2}+qt-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=0}
この二次方程式を解の公式により解くと、
u
3
,
v
3
=
−
q
2
±
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
{\displaystyle u^{3},v^{3}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}
故に、実数解の一つとして
y
=
−
q
2
+
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
3
+
−
q
2
−
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
3
{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}}
が求まる。
この解法が見つけられた当時は複素数 は知られていなかったため、これで解を求めたことになったが、
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
<
0
{\displaystyle \left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0}
虚数 で表されるという不合理が生じた。
その後、複素数についての研究が進み
x 3 = a の解が ω を 1 の虚立方根として
a
3
,
ω
a
3
,
ω
2
a
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}},\omega {\sqrt[{3}]{a}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{a}}}
の3個あることが知られるようになってからは u の立方根をとる際にも同様に 3 つの場合を考えるようになり、それぞれに対応する v を求めることで
y
=
ω
k
−
q
2
+
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
3
+
ω
3
−
k
−
q
2
−
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
3
(
k
=
0
,
1
,
2
)
{\displaystyle y=\omega ^{k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+\omega ^{3-k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}\quad (k=0,1,2)}
が解として知られるようになった。
カルダノの方法より、次の因数分解 の公式が導かれる：
= (x + y + z )(x + ω y + ω 2 z )(x + ω 2 y + ω z ) = (x + y + z ) (x 2 + y 2 + z 2 − z x − x y − y z ) 逆に、この因数分解の公式から、三次方程式を同様に解くことができる。三次方程式
x 3 + p x + q = 0において、y 3 + z 3 = q −3 y z = p とおくと、上記の因数分解の公式より
x 3 + p x + q = (x + y + z )(x + ω y + ω 2 z )(x + ω 2 y + ω z ) この計算はカルダノの方法と同じである。
三次方程式
x 3 + p x + q = 0にカルダノの公式を適用すると
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
<
0
{\displaystyle \left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0}
の時に負の数の平方根が現れる。これは、この三次方程式の判別式
D = −(4p 3 + 27q 2 ) > 0と同値な条件であり、相異なる 3 個の実数解を持つ条件である。実数解しかないのにもかかわらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。カルダノ は負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。
ラファエル・ボンベリ (Rafael Bombelli ) は、この場合を詳しく研究し1572年 に出版した『代数学』(Algebra ) に記した。形式的な計算ではあるものの、当時はまだ知られていない虚数 の計算と同じであった。ボンベリは
x 3 = 15x + 4という x = 4
x
=
2
+
−
121
3
+
2
−
−
121
3
{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}}
となるが、ボンベリはこの右辺は、今日でいうところの共役な複素数の和であると考え、負の数の平方根の演算規則を与えた上で
(
2
±
b
−
1
)
3
=
2
±
−
121
{\displaystyle \left(2\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{3}=2\pm {\sqrt {-121}}}
から b = 1x = 4
一般には
(
a
±
b
−
1
)
3
=
2
±
−
121
{\displaystyle \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{3}=2\pm {\sqrt {-121}}}
から 2個の値 a , b 還元不能 （かんげんふのう、casus irreducibilis ）と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根 と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。
3解がいずれも実数であれば、還元不能であるが、代数的な表記でなくてもよければ、虚数 を使わずに解を表すことができる。フランソワ・ビエト は、三角関数 の三倍角の公式
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α を変形した
cos3 α = 3 / 4 α + 1 / 4 α (2cos α )3 = 3(2cos α ) + 2cos 3α と三次方程式
x 3 = px + q の類似性に着目し、p = 3a 2 q = a 2 b
x 3 = 3a 2 x + a 2 b を考えた。
(x / a 3 = 3(x / a b / a … (1)もし x / a α x = 2a cos α
cos
3
α
=
b
2
a
{\displaystyle \cos 3\alpha ={\frac {b}{2a}}}
α
=
1
3
arccos
b
2
a
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{3}}\arccos {\frac {b}{2a}}}
x
=
2
a
cos
α
=
2
a
cos
(
1
3
arccos
b
2
a
)
{\displaystyle x=2a\cos \alpha =2a\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {b}{2a}}\right)}
という解が得られる。この解のことをビエトの解 という。
この三次方程式が相異なる 3個の実数解を持つ時、(1) の判別式
D
=
−
{
4
(
−
3
)
3
+
27
(
−
b
a
)
2
}
=
27
{
4
−
(
b
a
)
2
}
>
0
{\displaystyle D=-\left\{4(-3)^{3}+27\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}\right\}=27\left\{4-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}\right\}>0}
∴
|
b
2
a
|
<
1
{\displaystyle \therefore \ \left|{\frac {b}{2a}}\right|<1}
したがって
(2) は 0 < 3α < π 、つまり 0 < α < π / 3 に解を 1 つ持つ。この解を α 1 α 2 = α 1 + 2π / 3 α 3 = α 1 + 4π / 3
この時は実数の計算だけで解を得ることができた。ただし、逆三角関数 や三角関数 の計算を含むため厳密な値を得るのは大変である。
三次方程式 x 3 = px + q p > 0
|
x
|
<
2
p
3
{\displaystyle |x|<2{\sqrt {\frac {p}{3}}}}
ラグランジュ は、三次方程式や四次方程式の代数的解法を分析し、根の置換という代数方程式論の方向性を決定づける重要な概念に到達した。この研究はガロア理論 の発見へと繋がっていった。
x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0の 3 つの解を r 0 , r 1 , r 2 とし 1 の虚立方根 の一つ
ω
=
−
1
+
i
3
2
{\displaystyle \omega ={-1+i{\sqrt {3}} \over 2}}
を取る。
s 0 = r 0 + r 1 + r 2 s 1 = r 0 + ω r 1 + ω2 r 2 s 2 = r 0 + ω2 r 1 + ω r 2 とおくと
r
0
=
s
0
+
s
1
+
s
2
3
{\displaystyle r_{0}={s_{0}+s_{1}+s_{2} \over 3}}
r
1
=
s
0
+
ω
2
s
1
+
ω
s
2
3
{\displaystyle r_{1}={s_{0}+\omega ^{2}s_{1}+\omega s_{2} \over 3}}
r
2
=
s
0
+
ω
s
1
+
ω
2
s
2
3
{\displaystyle r_{2}={s_{0}+\omega s_{1}+\omega ^{2}s_{2} \over 3}}
である。根と係数の関係 により s 0 = −A 2 であることが分かるので s 1 と s 2 の二つが分かれば解が求まることになる。ここで r m r n 互換 を σm,n
(σ0,1 s 1 ) = r 1 + ω r 0 + ω2 r 2
ω2 (σ0,1 s 1 ) = r 0 + ω2 r 1 + ω r 2 = s 2 が得られる。両辺を三乗することにより
σ0,1 s 1 3 = s 2 3 同様に
σ0,1 s 2 3 = s 1 3 σ0,2 σ1,2 も計算してみれば分かる通り、これらの互換は s 1 3 と s 2 3 の入れ替えしかない。つまり s 1 3 + s 2 3 と s 1 3 s 2 3 は r 0 , r 1 , r 2 の対称式 であり、それらの基本対称式 で表される。すなわち s 1 3 と s 2 3 を解とする二次方程式
(z − s 1 3 )(z − s 2 3 ) = z 2 −(s 1 3 + s 2 3 ) z + s 1 3 s 2 3 = 0 の係数は、元の三次方程式の係数 A 2 , A 1 , A 0 で表されることになる。実際にこれは
z
2
−
(
−
2
A
2
3
+
9
A
1
A
2
−
27
A
0
)
z
+
(
A
2
2
−
3
A
1
)
3
=
0
{\displaystyle z^{2}-\left(-2{A_{2}}^{3}+9A_{1}A_{2}-27A_{0}\right)z+\left({A_{2}}^{2}-3A_{1}\right)^{3}=0}
という二次方程式 になり、この解は解の様子 を調べた時に定義した記号 ⊿ と ⊿2 によって
Δ
2
±
3
−
3
Δ
2
{\displaystyle {\frac {\Delta _{2}\pm 3{\sqrt {-3\Delta }}}{2}}}
と書くことができる。
この根号は二次方程式の解の差積
±
(
s
1
3
−
s
2
3
)
{\displaystyle \pm \left({s_{1}}^{3}-{s_{2}}^{3}\right)}
s
1
3
,
s
2
3
{\displaystyle {s_{1}}^{3},{s_{2}}^{3}}
r
1
,
r
2
,
r
3
{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}
ω
{\displaystyle \omega }
r
1
,
r
2
,
r
3
{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}
ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ やヴァンデルモンド （英語 : Alexandre-Théophile Vandermonde
3次方程式
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
(
a
3
≠
0
)
{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{3}\neq 0)}
の解の公式は以下の通りである：
x
1
=
−
a
2
3
a
3
+
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
+
4
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
+
(
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
)
2
3
3
2
3
a
3
−
2
3
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
a
3
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
+
4
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
+
(
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
)
2
3
x
2
=
−
a
2
3
a
3
−
(
1
−
i
3
)
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
+
4
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
+
(
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
)
2
3
6
2
3
a
3
+
(
1
+
i
3
)
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
×
2
2
3
a
3
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
+
4
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
+
(
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
)
2
3
x
3
=
−
a
2
3
a
3
−
(
1
+
i
3
)
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
+
4
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
+
(
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
)
2
3
6
2
3
a
3
+
(
1
−
i
3
)
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
×
2
2
3
a
3
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
+
4
(
3
a
1
a
3
−
a
2
2
)
3
+
(
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
3
a
2
−
27
a
0
a
3
2
)
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}\\&+{\frac {\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}{3\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}\\&-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\color {Green}{\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)}}{3a_{3}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}\\\\x_{2}=&\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}\\&-{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}\\&+{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}a_{3}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}\\\\x_{3}=&\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}\\&-{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}\\&+{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}\color {Green}{\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}a_{3}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}\end{aligned}}}
式の一部を置き換えたことにより簡略化したもの
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
(
a
3
≠
0
)
x
1
=
−
a
2
3
a
3
+
2
3
3
2
3
a
3
−
2
3
4
3
2
3
a
3
x
2
=
−
a
2
3
a
3
−
(
1
−
i
3
)
2
3
6
2
3
a
3
+
(
1
+
i
3
)
4
3
×
2
2
3
2
3
a
3
x
3
=
−
a
2
3
a
3
−
(
1
+
i
3
)
2
3
6
2
3
a
3
+
(
1
−
i
3
)
4
3
×
2
2
3
2
3
a
3
1
→
−
2
a
2
3
+
9
a
1
a
2
a
3
−
27
a
0
a
3
2
2
→
1
+
3
3
→
1
2
+
4
4
3
4
→
−
a
2
2
+
3
a
1
a
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{3}\neq 0)\\\\&x_{1}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}+{\frac {\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{3\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}{3\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\&x_{2}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}-{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}+{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\&x_{3}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}-{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}+{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\\\&{\begin{array}{|l|}\hline {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}\rightarrow -2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}+{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}^{2}+4{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}^{3}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}\rightarrow -{a_{2}}^{2}+3a_{1}a_{3}\\\hline \end{array}}\end{aligned}}}
代数的解法は重要であるものの、歴史的にはそれよりも先に、作図による三次方程式の幾何学的解法が模索されていた。このような解法は、古代ギリシア のメナイクモス [ 1] セルジューク朝 期ペルシャ のウマル・ハイヤーム によって一般化された。
この 2 つの放物線の交点の x 座標は 0 と a であり、a は、三次方程式 x 3 = p 2 q の実数解である xy 平面上の 2 つの放物線 を表す式
x
2
=
p
y
(
p
>
0
)
{\displaystyle x^{2}\,=py(p>0)}
y
2
=
q
x
(
q
>
0
)
{\displaystyle y^{2}\,=qx(q>0)}
において y を消去すると、
x
4
=
p
2
q
x
{\displaystyle x^{4}\,=p^{2}\,qx}
となり、この 2 つの放物線の交点の x 座標は、
x
=
0
,
p
2
q
3
{\displaystyle x=0,{\sqrt[{3}]{p^{2}q}}}
となり、x = 0 でない方の交点の位置によって
x
3
=
p
2
q
{\displaystyle x^{3}\,=p^{2}\,q}
という形の三次方程式の解が得られることになる。特に q = 2p ととれば、立方体倍積問題 と同値な三次方程式
x
3
=
2
p
3
{\displaystyle x^{3}\,=2p^{3}\,}
の実数解を、線分 の長さとして得たことになる。
この放物線と円の交点の x 座標は 0 と a であり、a は、三次方程式 x 3 + p 2 x =p 2 q の実数解である また、放物線と円 を表す式
x
2
=
p
y
(
p
>
0
)
{\displaystyle x^{2}\,=py(p>0)}
x
2
+
y
2
=
q
x
(
q
>
0
)
{\displaystyle x^{2}\,+y^{2}\,=qx(q>0)}
において同様に y を消去すれば
p
2
x
2
+
x
4
=
p
2
q
x
{\displaystyle p^{2}\,x^{2}\,+x^{4}\,=p^{2}\,qx}
であり、x = 0 以外の交点を求めることは
x
3
+
p
2
x
=
p
2
q
{\displaystyle x^{3}\,+p^{2}\,x=p^{2}\,q}
という三次方程式の実数解を与えるのと同じである。
一般に、
a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 3 ≠ 0)という三次方程式は
x
2
=
p
y
(
p
>
0
)
{\displaystyle x^{2}\,=py(p>0)}
a 3 p 2 y 2 + a 2 p x y + a 1 x 2 + a 0 x = 0 (a 3 ≠ 0)というように、放物線と、もう 1 つの円錐曲線の組み合わせでも書けるし
x
2
=
p
y
{\displaystyle x^{2}\,=py}
(
a
3
x
+
a
2
)
p
y
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle (a_{3}x+a_{2})py+a_{1}x+a_{0}=0}
のように、放物線と双曲線の交点としても表すことができる。
古代バビロニア では、数表 を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。
古代ギリシア では、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題 が、キオスのヒポクラテス によって、与えられた 2 つの数 p , q
p : x = x : y = y : q となる数 x , y 比 の問題に帰せられた。
メナイクモス [ 1] 円錐曲線 を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題は
x 3 = 2 p 3 (p > 0)の形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛 の下で作図できる曲線 ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。このような円錐曲線の研究は、アルキメデス やイブン・ハイサム 等を経て、セルジューク朝 期ペルシア のウマル・ハイヤーム により拡張され、様々な形をした三次方程式の解が、円錐曲線同士の交点として調べられ、網羅された。
三次方程式の代数的解法 は、16世紀頃にボローニャ大学 のシピオーネ・デル・フェッロ によって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式は
x 3 + a 1 x = a 0 a 1 a 0 正 ）という形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、係数 を正に限った形をしている。
この方程式自体は特殊な形であるものの、一般の三次方程式はこの形に変形できるため、本質的には三次方程式はデル・フェロが解いたといっても過言ではない。また、この方程式の場合は係数の符号の制約から還元不能にはならない。
デル・フェロは、この解法を公開せず、何人かの弟子に託して1526年 に死んだ。そのうちの一人、アントニオ・マリア・デル・フィオーレ （イタリア語版 ） Antonio Maria del Fiore ) は、この方法を、当時盛んに行われていた、金銭を賭けた計算勝負に使い、勝ち続けた。
三次方程式の解法があるという噂を元にタルタリア は、独力かどうかは分からないが
x 3 + a 2 x 2 = a 0 a 2 a 0 の形の三次方程式を解くことに成功し、さらにはデル・フェロの三次方程式の解法にも辿り着いた。タルタリアが三次方程式を解いたとの噂を聞いたフィオーレは噂を信用せずタルタリアに計算勝負を挑み、打ち負かして名声を上げようとしたものの、デル・フェロの三次方程式の解法しか知らなかったため、計算勝負に負けた。
タルタリアが三次方程式の代数的解法を知っていると聞いたカルダノ はタルタリアに頼み込み、三次方程式の代数的解法を聞き出すことに成功した。カルダノは、弟子のルドヴィコ・フェラーリ が得た、一般的な四次方程式 の代数的解法と併せて、三次方程式の代数的解法を出版したいと考えるようになったが、タルタリアとの約束で秘密にすると誓ったために、出版することはできなかった。そこで、かつてデル・フェロが、三次方程式の代数的解法を得たという噂を頼りに、フェラーリとボローニャに行き、デル・フェロの養子のアンニバレ・デラ・ナーヴェ (Annibale della Nave ) に会い、デル・フェロの遺稿を見せてもらった。それによってカルダノは、タルタリアが三次方程式を解いた最初の人ではないことを知ったので、タルタリアとの約束は無効とし1545年 に『アルス・マグナ』(Ars Magna ) を出版し、様々な形の三次方程式の解法を公表した。以来、三次方程式の解法はカルダノの方法 と呼ばれるようになった。このことはタルタリアを激怒させ論争に発展したが、カルダノは『アルス・マグナ』の中でデル・フェロとタルタリアの功績について賞賛しており、独自の方法と偽ったわけではない。また、タルタリアから解の導出方法までは聞いておらず、色々な形の三次方程式について解を表したことはカルダノ自身の業績である。
![{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5ec7900144884f37bb897cd9ca8ee7a511b583)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}},\omega {\sqrt[{3}]{a}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b26ee408dc13d00621fd022cf0fa75b3764f89)
![{\displaystyle y=\omega ^{k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+\omega ^{3-k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}\quad (k=0,1,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69d125c7a861e4a66a9c4b26ce895250a8d34a1)
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573262f780972f7c7b785df859855e4894ca6709)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}\\&+{\frac {\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}{3\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}\\&-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\color {Green}{\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)}}{3a_{3}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}\\\\x_{2}=&\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}\\&-{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}\\&+{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}a_{3}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}\\\\x_{3}=&\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}\\&-{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}\\&+{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}\color {Green}{\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}a_{3}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}+{\sqrt {4\left(3a_{1}a_{3}-{a_{2}}^{2}\right)^{3}+\left(-2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{3}a_{2}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\right)^{2}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1fa5250a63bfa448b8ad4e569a5d2caf773a8b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{3}\neq 0)\\\\&x_{1}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}+{\frac {\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{3\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}{3\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\&x_{2}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}-{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}+{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\&x_{3}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}-{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}+{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\\\&{\begin{array}{|l|}\hline {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}\rightarrow -2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}+{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}^{2}+4{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}^{3}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}\rightarrow -{a_{2}}^{2}+3a_{1}a_{3}\\\hline \end{array}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4e305dbb7ae34e2deaef50e7405d9ae0c1f7fe)
![{\displaystyle x=0,{\sqrt[{3}]{p^{2}q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4ca47fddbc3f6af6b4fba7572227aaf8317121)
