線形力学系

線形力学系（せんけいりきがくけい、英: linear dynamical system）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。

定義

一般に Rⁿ における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t) ∈ Rⁿ と、n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)$

ただしこれは、x が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、

$\mathbf {x} _{m+1}=A\mathbf {x} _{m}$

で表される。

これが線形であるとは、x(t) と y(t) が解ならば、任意のスカラー a, b について、線形結合 ax(t) + by(t) も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 e^tA（連続系）、もしくは累乗 Aⁿ（離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。 非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理）。

線形力学系の解

初期値 x(0) = x₀ が、行列 A の固有ベクトル v_k ならば、初期条件は

$\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)\right|_{t=0}=A\mathbf {v} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}$

となる。ただし、λ_k は、固有ベクトル v_k に対応する固有値である。このとき、解は、

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {v} _{k}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}t}$

となる。

もし A が対角化可能ならば、任意の初期値 x₀ は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 a_k が一意に存在する。

$\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}$

このとき解は、

$\mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}e^{\lambda _{k}t}$

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて

$\mathbf {x} (t)=e^{tA}\mathbf {x} _{0}\quad {\biggl (}e^{tA}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A^{n}{\biggr )}$

と、解を導くことができる。

二次元の場合

二次元の線形力学系は、

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}$

で表される。この系では、A は 2 次正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、

$\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}$

$\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}$

のように書くことができる。

また、$\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ であり、$\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ である。

もし、$\Delta <0$ ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (saddle point) となる。

$\Delta =0$ ならば、原点は孤立した平衡点ではない。

$\Delta >0$ ならば、固有値の符号が同じになり、$\tau <0$ ならば(漸近)安定、$\tau =0$ ならば中立安定、$\tau >0$ ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (node) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (degenerate node) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral) となる。

参考文献

• Hirsch, Morris W.; Smale, Stephen (1974). Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press. MR0486784. Zbl 0309.34001. https://books.google.co.jp/books?id=UG4Rh4OG-hUC 
  • スメール, S.、ハーシュ, M. W.『力学系入門』田村一郎、水谷忠良、新井紀久子（翻訳）、岩波書店、1976年。ISBN 978-4-00-006130-8。 

関連項目

• 自励系
• ハートマン＝グロブマンの定理