代数的内部

数学の一分野である函数解析学において、ベクトル空間の部分集合の代数的内部（だいすうてきないぶ、英: algebraic interior）あるいは動径核（radial kernel）は、集合の内部を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑となるような点、すなわちその集合の動径点の全体である。代数的内部の元は、しばしば（代数的）内点（internal points）と呼ばれる。

具体的に、$X$ が線型空間であるとき、$A\subseteq X$ の代数的内部は次で定義される。

$\operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.$

一般に $\operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ であることに注意されたい。しかし $A$ が凸集合であるなら、$\operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ である。また $A$ が凸集合であるときは、$x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1$ に対して $\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)$ が成立する。

例

$A\subset \mathbb {R} ^{2}$ が $A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}$ で与えられるなら、$0\in \operatorname {core} (A)$ である。しかし、$0\not \in \operatorname {int} (A)$ および $0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ である。

性質

$A,B\subset X$ であるなら、次が成り立つ。

• $A$ が併呑集合であるための必要十分条件は、$0\in \operatorname {core} (A)$ である。
• $A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)$
• $B=\operatorname {core} B$ であるなら、$A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)$ である。

内部との関係

$X$ を線型位相空間とし、$\operatorname {int}$ を内部作用素とし、$A\subset X$ とする。このとき次が成り立つ：

• $\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A$
• $A$ が空でない凸集合で、$X$ が有限次元であるなら、$\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ である。
• $A$ が凸集合で、その内部が空でないなら、$\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$である。
• $A$ が閉凸集合で、$X$ が完備距離空間であるなら、$\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$である。

関連項目

• 内部
• 相対的内部
• 準相対的内部
• 順序単位
• 境界点 (函数解析学)