ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験 結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツ は、時間の流れや光速度 はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2点間の距離（物体の長さ）は縮む」というローレンツ収縮 を示した(ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説 )。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性（「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」）の 2 つを原理として、特殊相対性理論 を築いた。そこでは、ローレンツ変換からの帰結として、時間の進み方が観測者によって異なることが示された。
ガリレイ変換 は、等速運動をする慣性系間の座標変換であり、ニュートンの運動方程式 は不変な形で変化するが、マクスウェルの方程式 では満足されない古典的な座標変換である。ローレンツ変換は、マクスウェル方程式を不変な形で変換する。また慣性系の動く速度 v が、光速度 c に比べて十分小さい場合（v /c → 0
ローレンツ変換のうち、空間と時間が関与する方向への変換をローレンツブースト (英 : Lorentz boost ) と呼ぶ。特殊相対論が導く、我々の直感に反する事柄のほとんどは、このローレンツブーストからの帰結である。一方で、空間同士が関与する変換はただの空間回転 である。
ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標（あるいは任意の 4元ベクトル ）を、x -軸に沿った S に対する相対速度 v で移動する別の慣性系 S′ へ変換する際に使用される群作用 である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 (t , x , y , z ) と S′ における時空座標 (t′ , x′ , y′ , z′ ) で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連づけられる。
上式で
γ
≡
1
1
−
v
2
/
c
2
{\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}
はローレンツ因子 と呼ばれ、c は真空中の光速度 を表す。
上の 4 つの方程式は、行列 を用いて表現できる。
[
t
′
x
′
y
′
z
′
]
=
[
γ
−
v
c
2
γ
0
0
−
v
γ
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
[
t
x
y
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c^{2}}}\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}
あるいは、以下のようにも記述できる。
[
c
t
′
x
′
y
′
z
′
]
=
[
γ
−
v
c
γ
0
0
−
v
c
γ
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
[
c
t
x
y
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\-{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}
最初の式は、v /c → 0不変量 である時空間隔 ds 2 = (c dt )2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 が保存されることを容易に理解できる点で、それぞれ優れている。
また、パラメータ θ を用いて、
v
c
=
tanh
θ
{\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \theta }
とすると
c
t
′
=
c
t
cosh
θ
−
x
sinh
θ
x
′
=
x
cosh
θ
−
c
t
sinh
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=ct\cosh {\theta }-x\sinh {\theta }\\x'&=x\cosh {\theta }-ct\sinh {\theta }\end{aligned}}}
虚時間 w = i ct
w
′
=
w
cos
i
θ
−
x
sin
i
θ
x
′
=
x
cos
i
θ
+
w
sin
i
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}w'&=w\cos {i\theta }-x\sin {i\theta }\\x'&=x\cos {i\theta }+w\sin {i\theta }\end{aligned}}}
行列を用いれば、それぞれ
[
c
t
′
x
′
y
′
z
′
]
=
[
cosh
θ
−
sinh
θ
0
0
−
sinh
θ
cosh
θ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
[
c
t
x
y
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh {\theta }&-\sinh {\theta }&0&0\\-\sinh {\theta }&\cosh {\theta }&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}
[
w
′
x
′
y
′
z
′
]
=
[
cos
(
i
θ
)
−
sin
(
i
θ
)
0
0
sin
(
i
θ
)
cos
(
i
θ
)
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
[
w
x
y
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {(i\theta )}&-\sin {(i\theta )}&0&0\\\sin {(i\theta )}&\cos {(i\theta )}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}
と表すことができる。この表現を用いると、ローレンツ変換がミンコフスキー空間 上での虚数角 iθ の回転に相当することが容易に理解できる。
この表式では速度の合成が容易になる。慣性系 S において、速度 u で x -軸方向に等速運動している物体は、慣性系 S′ における速度 u′ は、
u
c
=
tanh
ϕ
{\displaystyle {\frac {u}{c}}=\tanh {\phi }}
とすると、
u
′
c
=
tanh
(
ϕ
−
θ
)
{\displaystyle {\frac {u'}{c}}=\tanh {(\phi -\theta )}}
で表される。
相対速度 v の方向が 慣性系 S の x -軸方向と一致する場合にのみ、上の方程式は適用される。v の方向が S の x -軸と一致しない場合には、ローレンツ変換の一般解を求めるよりも、v の方向が S の x -軸と一致するように慣性系の回転を行うほうが、一般に容易である。
任意の方向へのローレンツブーストに際しては、空間ベクトル x v
x
=
x
⊥
+
x
‖
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{\perp }+{\boldsymbol {x}}_{\|}}
v
x
‖
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\|}}
γ による変形を受ける。
t
′
=
γ
(
t
−
v
x
‖
c
2
)
{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx_{\|}}{c^{2}}}\right)}
x
′
=
x
⊥
+
γ
(
x
‖
−
v
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}'={\boldsymbol {x}}_{\perp }+\gamma ({\boldsymbol {x}}_{\|}-{\boldsymbol {v}}t)}
上の方程式は、行列を用いて以下のように表現できる。
[
c
t
′
x
′
]
=
[
γ
−
v
T
c
γ
−
v
c
γ
I
+
v
⊗
v
T
v
2
(
γ
−
1
)
]
[
c
t
x
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\{\boldsymbol {x}}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {\boldsymbol {v^{\mathrm {T} }}}{c}}\gamma \\-{\frac {\boldsymbol {v}}{c}}\gamma &{\boldsymbol {I}}+{\dfrac {{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {v^{\mathrm {T} }}}}{v^{2}}}(\gamma -1)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\boldsymbol {x}}\end{bmatrix}}}
ここで、v T v 転置行列 、I 単位行列 である。
上で注記したように、この変換は 2 つの系で原点が共有されることを要求する。この制約を緩和する形で、ローレンツ変換に時空 の平行移動を加えた変換はポアンカレ変換 と呼ばれる。
なお、ローレンツ変換は「光速度一定」の帰結である「世界間隔の不変性」を満たす変換として、より一般的に定義される。ここで、時空を記述する 4元ベクトル x =(ct , x , y , z )
Λ
T
g
Λ
=
g
{\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }g\Lambda =g\,}
を満たす任意の 4×4 行列 Λ によって与えられる変換
x
→
x
′
=
Λ
x
{\displaystyle x\rightarrow x'=\Lambda x}
がローレンツ変換となる。但し、T は転置行列を表し、g は
g
=
(
g
μ
ν
)
=
[
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
]
{\displaystyle g=(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}
で与えられる時空の計量テンソル を表すものとする。
このように定義された行列 Λ の全体は、ローレンツ群 として知られる群 SO(3,1) を構成する。
厳密に言うと、このように定義したローレンツ変換はミンコフスキー空間での回転だけでなく、空間反転に相当するパリティ変換 P 、時間反転 T を含む。これらの変換は連続的なローレンツ変換とは別個に扱われる場合が多い。例えば実際の物理は連続的なローレンツ変換に対しては不変だが、パリティ対称性の破れ 、CP対称性の破れ （CPT定理 より T の破れと同義）は実験で観測されている。この点を明確にしたい場合、連続的な回転のみの部分を本義ローレンツ変換 と呼ぶことがある。
より一般的に、ローレンツ変換は世界間隔を不変に保つ線形変換 として定義される。こうして定義されるローレンツ変換は、ミンコフスキー時空 における内積に対する対称性 として捉えることができる。
まず、ミンコフスキー時空におけるローレンツ変換 Λ は
Λ
T
g
Λ
=
g
{\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }g\Lambda =g}
すなわち
Λ
λ
μ
g
λ
ρ
Λ
ρ
ν
=
g
μ
ν
(
μ
,
λ
,
ρ
,
ν
=
0
,
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle {\Lambda ^{\lambda }}_{\mu }g_{\lambda \rho }{\Lambda ^{\rho }}_{\nu }=g_{\mu \nu }\quad (\mu ,\lambda ,\rho ,\nu =0,1,2,3)}
を満たす線形変換として定義される。但し、g =(g μν g =diag (1, −1, −1, −1)アインシュタインの縮約 に従って和をとるものとする。また、添え字の上げ下げは計量テンソルによって、
x
μ
=
g
μ
ν
x
ν
{\displaystyle x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }}
で、与えられるものとする。
こうして定義されるローレンツ変換は、時空の二点 x =(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )y =(y 0 , y 1 , y 2 , x 3 )ローレンツ内積
x
⋅
y
=
x
μ
y
μ
=
x
0
y
0
−
x
1
y
1
−
x
2
y
2
−
x
3
y
3
{\displaystyle x\cdot y=x^{\mu }y_{\mu }=x^{0}y^{0}-x^{1}y^{1}-x^{2}y^{2}-x^{3}y^{3}}
を不変に保つ。
x
′
⋅
y
′
=
x
⋅
y
(
x
′
=
Λ
x
,
y
′
=
Λ
y
)
{\displaystyle x'\cdot y'=x\cdot y\quad (x'=\Lambda x,y'=\Lambda y)}
この性質から、特に時空の計量
d
s
2
=
g
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
=
(
d
x
0
)
2
−
(
d
x
1
)
2
−
(
d
x
3
)
2
−
(
d
x
3
)
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=(\mathrm {d} x^{0})^{\,2}-(\mathrm {d} x^{1})^{\,2}-(\mathrm {d} x^{3})^{\,2}-(\mathrm {d} x^{3})^{\,2}}
はローレンツ変換の下、不変となる。
d
s
′
2
=
Λ
μ
λ
g
λ
ρ
Λ
ν
ρ
d
x
μ
d
x
ν
=
d
s
2
{\displaystyle \mathrm {d} s'^{2}=\Lambda _{\,\,\mu }^{\lambda }g_{\lambda \rho }\Lambda _{\,\,\nu }^{\rho }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=\mathrm {d} s^{\,2}}
すなわち、世界間隔は不変に保たれる。
ローレンツ変換全体のなす集合 L は、行列式 と00成分 Λ00 によって分類される。ローレンツ変換 Λ において、その行列式 det(Λ) は ±1 の値をとる。一方、 00成分は Λ00 ≥1 または Λ00 ≤−1 を満たす。ローレンツ変換の全体 L の中で、行列式の値と00成分の符号が等しい2つのローレンツ変換は、連続的に移り変わることができる連結 な成分となる。一方、これらが異なる2つのローレンツ変換は連続的に移り変わることができない非連結な成分となる。従って、L は行列式の値並びに00成分の符号によって、次の4つの連結な部分集合に分類される。
L
+
↑
:=
{
Λ
∈
L
|
det
Λ
=
+
1
,
Λ
0
0
≥
+
1
}
L
−
↑
:=
{
Λ
∈
L
|
det
Λ
=
−
1
,
Λ
0
0
≥
+
1
}
L
−
↓
:=
{
Λ
∈
L
|
det
Λ
=
−
1
,
Λ
0
0
≤
−
1
}
L
+
↓
:=
{
Λ
∈
L
|
det
Λ
=
+
1
,
Λ
0
0
≤
−
1
}
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}^{\uparrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=+1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\geq +1\}\\L_{-}^{\uparrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=-1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\geq +1\}\\L_{-}^{\downarrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=-1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\leq -1\}\\L_{+}^{\downarrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=+1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\leq -1\}\end{aligned}}}
この分類において、Λ0 0 ≥1 を満たすものを順時間的 （orthochrous ）、Λ0 0 ≤−1 を満たすものを反順時間的 （anti-orthochrous ）、det(Λ )=1 を満たすものを固有 （proper ）、det(Λ )=−1 を満たすものを非固有 （improper ）と呼ぶ。
ローレンツ変換の中で、特別なものとして、
(
I
x
)
μ
=
x
μ
(
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
)
(
P
x
)
0
=
x
0
(
P
x
)
i
=
−
x
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
(
T
x
)
0
=
−
x
0
(
T
x
)
i
=
x
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
(
P
T
x
)
μ
=
(
P
∘
T
x
)
μ
=
−
x
μ
(
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(Ix)^{\mu }&=x^{\mu }\quad (\mu =0,1,2,3)\\(Px)^{0}&=x^{0}\quad (Px)^{i}=-x^{i}\quad (i=1,2,3)\\(Tx)^{0}&=-x^{0}\quad (Tx)^{i}=x^{i}\quad (i=1,2,3)\\(PTx)^{\mu }&=(P\circ Tx)^{\mu }=-x^{\mu }\quad (\mu =0,1,2,3)\end{aligned}}}
で定義される恒等変換 I 、空間反転（パリティ変換） P 、時間反転 T 、空間時間反転 PT が存在する。
L ↑ + , L ↑ − ,
L ↓ − , L ↓ + I 、空間反転 P 、時間反転 T 、空間時間反転 PT を含む。
I
∈
L
+
↑
,
P
∈
L
−
↑
,
T
∈
L
−
↓
,
P
T
∈
L
+
↓
{\displaystyle I\in L_{+}^{\uparrow },\,\,P\in L_{-}^{\uparrow },\,\,T\in L_{-}^{\downarrow },\,\,PT\in L_{+}^{\downarrow }}
これらの変換により、L ↑ + , L ↑ − , L ↓ + , L ↓ −
L
+
↑
=
P
L
−
↑
L
+
↑
=
T
L
−
↓
L
+
↑
=
P
T
L
+
↓
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}^{\uparrow }&=PL_{-}^{\uparrow }\\L_{+}^{\uparrow }&=TL_{-}^{\downarrow }\\L_{+}^{\uparrow }&=PTL_{+}^{\downarrow }\end{aligned}}}
慣性系 S と慣性系 S′ の座標格子を重ねて図示すると、ローレンツ変換とガリレイ変換 の違いがイメージできる。ガリレイ変換 では時刻が等しい点からなる直線（同時刻線）は両慣性系で一致するが、ローレンツ変換では異なる慣性系の同時刻線は互いに傾いている。これはローレンツ変換では、慣性系 S では同時に起きた事象が慣性系 S′ では異なる時刻に起きていることを意味する。これを同時性の崩れ という。
長さの収縮 を参照
ローレンツ収縮 アインシュタインの解釈によれば、観測者に対して運動する物体は縮んで観測される。
例として、x -軸方向に長さを持つ物体が、観測者 A （xyzw -座標系）に対して x -軸正方向に速度 v で等速直線運動 する場合を考える (w = ct B （x′y′z′w′ -座標系）にはこの物体の長さが l で観測されるとする(w′ = ct′ B にとって同時刻に観測したときに、物体の端と端の x′ -座標の値の差が l であることを示す。
t′ = 0x′ = 0x′ = l {(x′ , w′ ) | 0 ≤ x′ ≤ l } となり、右図薄青部である。ここで、
β
=
v
c
,
γ
=
1
1
−
β
2
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}
x′ = γ (x − βw )
0
≤
x
′
≤
l
⟺
β
w
≤
x
≤
β
w
+
l
γ
{\displaystyle 0\leq x'\leq l\iff \beta w\leq x\leq \beta w+{\frac {l}{\gamma }}}
t = 0x = 0
x
=
l
γ
{\displaystyle x={\frac {l}{\gamma }}}
A にとってこの物体の長さは
l
γ
{\displaystyle {\frac {l}{\gamma }}}
A にとって (x , w ) = (0, l ) となる点は、右図点線である双曲線 x 2 − w 2 = l x -軸の交点であることからもローレンツ収縮の影響がわかる）。
座標格子のローレンツ変換
座標格子のガリレイ変換
