単位行列

単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元

数学、特に線型代数学において、単位行列(たんいぎょうれつ、: identity matrix)とは、単位的環上で定義される同じ正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

構成

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単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を ai, j とすると次のように書ける。

 

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

 

表記法

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n次単位行列は EnIn と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に EI とも書かれる。

対角行列の記法を用いて In = diag(1, 1, …, 1) と書ける。

クロネッカーのデルタを用いると、En = (δi,j) と表すことができる。

性質

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スカラー行列との関連

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単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列線型代数群)あるいは行列環部分群部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の n次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。

外部リンク

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