ヤコビの三重積

ヤコビの三重積 (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}$

但し、$\operatorname {Im} {\tau }>0$とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、 $q=e^{{\pi }i{\tau }},z=e^{2{\pi }iv}$と置くことにより

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n^{2}}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}$

或いは、$q=e^{{\pi }i{\tau }},z=e^{-{\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}$と置くことにより

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n(n+1)}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m}z\right)\left(1+q^{2m-2}z^{-1}\right)}$

となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書 Jacobi (1829)で示した。

証明

直接の証明

左辺を$\vartheta (v,\tau )$、右辺を$\Theta (v,\tau )$と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。

${\begin{aligned}\Theta (v+1,\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }i(v+1)}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+1)}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&=\Theta (v,\tau )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Theta (v+\tau ,\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m+1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-3){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&={\frac {1+e^{-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}}{1+e^{{\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&={\frac {e^{-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}+1}{1+e^{{\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}\\&=e^{-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\Theta (v,\tau )\end{aligned}}$

$\operatorname {Im} {\tau }>0$により$|e^{2m{\pi }i{\tau }}|<1$であるから、右辺の零点は

${\begin{aligned}\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)&=0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left(1+2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)&=0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos {2{\pi }v}&=-{\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }}}{2}}\\\cos {2{\pi }v}&={\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}}{2}}\\2{\pi }v&=\left((2m-1){\pi }{\tau }+{\pi }\right)\pm 2{\pi }n\\v&={\frac {1+\tau }{2}}+n'+m'{\tau }\end{aligned}}$

に限られる。一方、左辺は

${\begin{aligned}\vartheta (v+1;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in(v+1)}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}\\&=\vartheta (v;\tau )\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\vartheta (v+\tau ;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in(v+\tau )}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }(n+1)^{2}-{\pi }i{\tau }+2{\pi }i(n+1)v-2{\pi }iv}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}-{\pi }i{\tau }+2{\pi }inv-2{\pi }iv}}\\&=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta (v;\tau )\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\vartheta _{3}({\frac {1+\tau }{2}};\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in({\frac {1+\tau }{2}})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }(n+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }(n+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n+1}e^{{\pi }i{\tau }(-n-1+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}\\&=0\end{aligned}}$

であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、

$c(\tau ,v)={\frac {\vartheta (v,\tau )}{\Theta (v,\tau )}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}}}$

は$v$に依存しない。

${\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{2}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+{\pi }in}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{4}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+{\pi }in/2}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i/2}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i/2}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+ie^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-ie^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{8m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\\end{aligned}}$

分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。

${\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{4}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{4{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{8m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&=c\left(\textstyle {\frac {1}{2}},4\tau \right)\end{aligned}}$

$c(v,\tau )$は$v$に依存しないから

$c\left(v,4\tau \right)=c\left(v,\tau \right)=\lim _{n\to \infty }c\left(v,4^{-n}\tau \right)=\lim _{\tau '\to 0}c\left(v,\tau '\right)=c(v,0)$

であり、$c(v,\tau )$は$\tau$にも依存しない定数である。$\tau \to {+i}\infty$として$c(v,\tau )=1$を得る。結局、両辺は等しい。

ラマヌジャンの和公式による証明

ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)$

はq二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式に$b=0$を代入すると

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q)_{n}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left(q/az;q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }\left(q/a;q\right)_{\infty }}}$

となり、$q$を$q^{2}$と書き、$z$を$-qz/a$と書けば

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}={\frac {(-qz;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }\left(-q/z;q^{2}\right)_{\infty }}{(-qz/a;q^{2})_{\infty }\left(q^{2}/a;q^{2}\right)_{\infty }}}$

となる。qポッホハマー記号の変換式

$\left(aq^{-n+1};q\right)_{n}=\left(-a\right)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\frac {1}{a}};q\right)_{n}$

により、左辺は

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(aq^{2n-2}q^{-2n+2};q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-aq^{2n-2})^{n}q^{-2n(n-1)/2}(1/aq^{2n-2};q)_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}(1/aq^{2n-2};q)_{n}\\\end{aligned}}$

であるから、$a\to \infty$の極限を取れば

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}=(-qz;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }\left(-q/z;q^{2}\right)_{\infty }$

となり、qポッホハマー記号を展開して

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}/z)(1+q^{2m-1}z)$

を得る。

ヤコビの原証明

Jacobi (1829)の原証明は冪級数の操作のみを用いている。まず

${\begin{aligned}Q(x)=&(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{6})\cdots ,\\R(x,z)=&(1+xz)(1+x^{3}z)(1+x^{5}z)\cdots ,\\S(x,z)=&{\frac {1}{(1-xz)(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)\cdots }}\end{aligned}}$

とおく。ヤコビの三重積は $Q(x)R(x,z^{-1})R(x,z)$ であらわされる。

まず $R(x,z)$ について、

$R(x,zx^{2})=(1+x^{3}z)(1+x^{5}z)(1+x^{7}z)\cdots$

より

$R(x,z)=(1+xz)R(x,zx^{2})$

が成り立つ。そこで

$R(x,z)=1+a_{1}(x)z+a_{2}(x)z^{2}+\cdots$

とおくと

$(1+a_{1}(x)z+a_{2}(x)z^{2}+\cdots )=(1+xz)(1+a_{1}(x)x^{2}z+a_{2}(x)x^{4}z^{2}+\cdots )$

より

$a_{n}(x)=a_{n}(x)x^{2n}+a_{n-1}(x)x^{2n-1},$

つまり

$a_{n}(x)={\frac {a_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^{2n}}},a_{0}(x)=1$

が成り立つ。この漸化式を解くと

$a_{n}(x)={\frac {x^{n^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots (1-x^{2n})}}$

が得られる。

次に $S(x,z)$ について、

$S(x,zx)={\frac {1}{(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)(1-x^{4}z)\cdots }}=(1-xz)S(x,z)$

が成り立つ。そこで

$S(x,z)=1+{\frac {b_{1}(x)z}{1-xz}}+{\frac {b_{2}(x)z^{2}}{(1-xz)(1-x^{2}z)}}+\cdots$

とおくと

${\begin{aligned}S(x,z)=&{\frac {S(x,zx)}{1-xz}}\\=&{\frac {1}{1-xz}}\left(1+{\frac {b_{1}(x)xz}{1-x^{2}z}}+{\frac {b_{2}(x)x^{2}z^{2}}{(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)}}+\cdots \right)\\=&{\frac {1}{1-xz}}+{\frac {b_{1}(x)xz}{(1-xz)(1-x^{2}z)}}+{\frac {b_{2}(x)x^{2}z^{2}}{(1-xz)(1-x^{2}z)(1-x^{3}z)}}\cdots \end{aligned}}$

であるが

${\frac {b_{m}(x)x^{m}z^{m}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m+1}z)}}={\frac {b_{m}(x)x^{m}z^{m}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m}z)}}+{\frac {b_{m}(x)x^{2m+1}z^{m+1}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m+1}z)}}$

より

$b_{n}(x)=b_{n}(x)x^{n}+b_{n-1}x^{2n-1},$

つまり

$b_{n}(x)={\frac {b_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^{n}}},b_{0}(x)=1$

が成り立つ。この漸化式を解くと

$b_{n}(x)={\frac {x^{n^{2}}}{(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})}}$

が得られる。

さて、ヤコビの三重積の冪級数展開を得たいが、代わりに $R(x,z)R(x,z^{-1})$ の冪級数展開について考える。

$R(x,z)R(x,z^{-1})=(1+a_{1}(x)z+a_{2}(x)z^{2}+\cdots )(1+a_{1}(x)z^{-1}+a_{2}(x)z^{-2}+\cdots )$

より $R(x,z)R(x,z^{-1})$ を冪級数展開したときの $z^{m}$ および $z^{-m}$ の係数は共に

${\begin{aligned}&a_{m}(x)+a_{m+1}(x)a_{1}(x)+a_{m+2}(x)a_{2}(x)+\cdots \\=&a_{m}(x)\left(1+{\frac {x^{2m+2}}{(1-x^{2})(1-x^{2m+2})}}+{\frac {x^{4m+8}}{(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})}}+\cdots \right)\\=&a_{m}(x)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots (1-x^{2k})}}\times {\frac {x^{2km}}{(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots (1-x^{2(m+k)})}}\\\end{aligned}}$

に一致するが、これは、上記の $S(x,z)$ の展開より

${\begin{aligned}=&a_{m}(x)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {b_{k}(x^{2})x^{2km}}{(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots (1-x^{2(m+k)})}}\\=&a_{m}(x)S(x^{2},x^{2m})\\=&{\frac {x^{m^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots (1-x^{2m})\times (1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots }}\\=&{\frac {x^{m^{2}}}{(1-x^{2})(1-x^{4})\cdots }}\\=&{\frac {x^{m^{2}}}{Q(x)}}\end{aligned}}$

に一致する。よって

$Q(x)R(x,z)R(x,z^{-1})=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{m}$

が成り立つ。

関連項目

• ワトソンの五重積
• オイラーの五角数定理

参考文献

• Jacobi, C. G. J. (1829) (Latin), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012, https://archive.org/details/fundamentanovat00jacogoog 
• Andrews, G. E. (1965), A simple proof of Jacobi's triple product identity, American Mathematical Society, https://www.ams.org/journals/proc/1965-016-02/S0002-9939-1965-0171725-X/ 
• Carlitz, L (1962), A note on the Jacobi theta formula, American Mathematical Society, https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183524930 
• Wright, E. M. (1965), An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi, London Mathematical Society, https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-40.1.55