qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(英: q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である^[1]^[2]^[3]。

{\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}

$|q|<1$ の仮定が普通であり、実用上、 $n$ は整数であることが多い。 $n$ が整数である場合は

(a;q)_{n}={\begin{cases}\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})&n>0\\1&n=0\\\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-aq^{k})}}&n<0\\\end{cases}}

となる。 $m,n$ が整数であり、 $a=q^{-m}$ であるとき、 $0{\leq }m<n$ であれば $(q^{-m};q)_{n}=0$ であり、 $n{\leq }m<0$ であれば $(q^{-m};q)_{n}$ である。

更なる略記

基底 (base) が文字 $q$ である場合は省略することがある。

{\begin{aligned}&(a)_{n}=(a;q)_{n}\\&(q)_{n}=(q;q)_{n}\\\end{aligned}}

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

{\begin{aligned}&(a,b,c)_{n}=(a,b,c;q)_{n}:=(a;q)_{n}(b;q)_{n}(c;q)_{n}\\\end{aligned}}

以下の変換式が成立する。

{\begin{aligned}(aq^{-n+1};q)_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{n-1-k}}{a}}\right)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{k}}{a}}\right)\qquad (n-1-k{\mapsto }n)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\dfrac {1}{a}};q\right)_{n}\end{aligned}}

qブラケット (英: q-bracket) は整数、実数、複素数などのq-類似を表す記号である^[4]。

[n]=[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}.

q階乗 (英: q-factorial) は階乗のq-類似である^[3]^[5]。（分母は普通の冪乗であることを為念）

[n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.

q二項係数 (英: q-binomial coefficient) は二項係数のq-類似である^[3]^[6]。

{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{k}}}.

^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
^ Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
^ ^a ^b ^c Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
^ Wolfram Mathworld: q-Bracket
^ Wolfram Mathworld: q-Factorial
^ Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient