マッセルマンの定理

マッセルマンの定理（マッセルマンのていり、英: Musselman's theorem）は、ユークリッド幾何学の三角形と円に関する定理。

三角形 $T$ の頂点を $A,B,C$ 、 $T$ の鏡映三角形を $A*B*C*$ とする^[1]。三角形の外心 $O$ と対応する三角形の頂点を通る円、つまり円 $AOA*,BOB*,COC*$ を描く。この円はマッセルマン円（Musselman circles）と呼ばれる。マッセルマンの定理によれば、3つのマッセルマン円は $O$ とは異なる点 $M$ で交わる。また $M$ は、 $T$ の九点円の中心の等角共役点であるコスニタ点の、 $T$ の外接円による反転点である^[2]。

Encyclopedia of Triangle Centersにおいて、 $M$ は三角形の中心 $X_{1157}$ に割り当てられている^[3]^[2]。

歴史

マッセルマンの定理は1939年、ジョン・ロジャース・マッセルマン（英語版）とルネ・ゴールマハティヒによって発見され、1941年に証明された^[4]^[5]。また、ゴールマハティヒは一般化についても示している^[6]。

ゴールマハティヒの一般化

ゴールマハティヒによるマッセルマンの定理の一般化は、円には明確に言及していない。

前項と同様に $T,A,B,C,O$ を定める。また $T$ の垂心を $H$ とする。今、線分 $OA,OB,OC$ 上の点 $A',B',C'$ を $OA / OA' = OB / OB' = OC / OC' = t$ を満たすように定める。次に、それぞれ $A',B',C'$ を通り、 $OA,OB,OC$ に直交する直線 $l a, l b, l c$ と $BC , CA , AB$ の交点を $P a, P b, P c$ とする。

1884年、ノイベルグは、 $P a, P b, P c$ は一直線 $R$ 上にあることに気づいた^[7]。 $N$ を $R$ に対する $O$ の射影、 $N'$ を $R$ 上の $ON / ON' = t$ を満たす点と定義する。 $Q$ を $QH / QO = 2 t$ を満たすオイラー線上の点として、ゴールマハティヒは $N'$ が $T$ の外接円における $Q$ の反転点であることを証明した^[8]^[9]。

出典

^ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105–111
^ ^a ^b Eric W. Weisstein (), Musselman's theorem. online document, accessed on 2014-10-05.
^ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(1157) . Accessed on 2014-10-08
^ John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematical Monthly, volume 46, page 601
^ John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281–283
^ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
^ Joseph Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.
^ Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17–20
^ Ion Pătrașcu and Cătălin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10–19, ISSN 2247-9880

[1] D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105–111

[:0-2] Eric W. Weisstein (), Musselman's theorem. online document, accessed on 2014-10-05.

[3] Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(1157) . Accessed on 2014-10-08

[4] John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematical Monthly, volume 46, page 601

[5] John Rogers Musselman and René Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281–283

[6] Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.

[:1-7] Joseph Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.

[8] Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17–20

[barbu2012-9] Ion Pătrașcu and Cătălin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10–19, ISSN 2247-9880

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