最も単純な１つのモード のボース粒子フォック状態を考える（ここで考えている状態を1粒子状態 と呼ぶこともあるが、この状態を多粒子状態と考えることもできるため（後述）、ここでは単にモードと呼ぶことにする）。これはエネルギー的には１つの調和振動子 と等価である。
以下の交換関係 を満たす生成消滅演算子 を定義する。
[
b
^
,
b
^
†
]
=
1
{\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}
数演算子 とよばれるエルミート演算子 を以下で定義する。
N
^
≡
b
^
†
b
^
{\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}
この固有値方程式は、
N
^
|
n
⟩
=
n
|
n
⟩
{\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }
この固有値
N
{\displaystyle N}
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
b
^
†
|
n
⟩
=
n
+
1
|
n
+
1
⟩
,
b
^
|
n
⟩
=
n
|
n
−
1
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {b}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle \end{aligned}}}
また固有値0の場合の固有状態
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
b
^
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle {\hat {b}}|0\rangle =0}
数演算子の固有状態は、真空状態から生成演算子をくり返し作用することで作ることができる。これをボース粒子におけるフォック状態 と呼ぶ。
|
n
⟩
=
1
n
!
(
b
^
†
)
n
|
0
⟩
{\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\hat {b}}^{\dagger })^{n}|0\rangle }
調和振動子では、数演算子とハミルトニアンは互いに交換する。
H
^
=
ℏ
ω
(
N
^
+
1
2
)
{\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)}
[
N
^
,
H
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {H}}]=0}
よってフォック状態
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
|
ψ
n
⟩
{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }
同時固有状態 ）。
H
^
|
n
⟩
=
ℏ
ω
(
n
+
1
2
)
|
n
⟩
{\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle }
つまり状態
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
以上のことから、次のような再解釈を行うことができる。
b
^
†
,
b
^
{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}}
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
ハミルトニアンの固有値・固有状態を表す
n
{\displaystyle n}
粒子数 （あるいは占有数 ）であり、演算子
N
^
{\displaystyle {\hat {N}}}
このように考えることで元々は1粒子状態であった調和振動子の状態も、その励起数だけ粒子がある多粒子状態となる。
ボース粒子フォック状態への生成消滅演算子の作用 以下の反交換関係 を満たす生成消滅演算子 を定義する。
{
c
^
,
c
^
†
}
=
1
{\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}^{\dagger }\}=1}
{
c
^
,
c
^
}
=
{
c
^
†
,
c
^
†
}
=
0
{\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}\}=\{{\hat {c}}^{\dagger },{\hat {c}}^{\dagger }\}=0}
また数演算子 とよばれるエルミート演算子を以下で定義する。
N
^
≡
c
^
†
c
^
{\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {c}}^{\dagger }{\hat {c}}}
この固有値方程式は、
N
^
|
n
⟩
=
n
|
n
⟩
{\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }
真空状態を以下で定義する。
c
^
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle {\hat {c}}|0\rangle =0}
真空状態
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
{
c
^
†
,
c
^
†
}
=
2
(
c
^
†
)
2
=
0
{\displaystyle \{{\hat {c}}^{\dagger },{\hat {c}}^{\dagger }\}=2({\hat {c}}^{\dagger })^{2}=0}
c
^
†
|
0
⟩
=
|
1
⟩
{\displaystyle {\hat {c}}^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle }
(
c
^
†
)
2
|
0
⟩
=
c
^
†
|
1
⟩
=
0
{\displaystyle ({\hat {c}}^{\dagger })^{2}|0\rangle ={\hat {c}}^{\dagger }|1\rangle =0}
つまり最大占有数は1で、1個以上のフェルミ粒子は同じ状態を占有できない。
逆に
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
{
c
^
,
c
^
}
=
2
(
c
^
)
2
=
0
{\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}\}=2({\hat {c}})^{2}=0}
c
^
|
1
⟩
=
|
0
⟩
{\displaystyle {\hat {c}}|1\rangle =|0\rangle }
(
c
^
)
2
|
1
⟩
=
c
^
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle ({\hat {c}})^{2}|1\rangle ={\hat {c}}|0\rangle =0}
つまり粒子数は0以下になれない。この
|
0
⟩
,
|
1
⟩
{\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }
ボース粒子の場合と同様に、この場合も粒子的な解釈を行うことができる。ただし粒子の生成は1つまでしかできない。
フェルミ粒子フォック状態への生成消滅演算子の作用。
1つのモードでのフォック状態を合成し、2つ以上のモード（多重モード）でのフォック状態を作る。このフォック状態は、同種粒子の不可弁別性 を満たすような形でなければならない。
合成した固有状態に交換演算子
P
^
{\displaystyle {\hat {P}}}
[ 2]
たとえばテンソル積表現での2粒子系においては次のようになる。
P
^
|
x
1
,
x
2
⟩
=
|
x
2
,
x
1
⟩
{\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }
2つの同種粒子のフォック状態
|
1
1
,
1
2
⟩
{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle }
不可弁別性 が成り立つ。よって
ボース粒子では
|
1
1
,
1
2
⟩
=
+
|
1
2
,
1
1
⟩
{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =+|1_{2},1_{1}\rangle }
フェルミ粒子では
|
1
1
,
1
2
⟩
=
−
|
1
2
,
1
1
⟩
{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =-|1_{2},1_{1}\rangle }
となる[ 3] :191 。
証明
任意の終状態
|
f
⟩
{\displaystyle |f\rangle }
演算子
O
^
{\displaystyle {\hat {\mathbb {O} }}}
|
⟨
f
|
O
^
|
1
1
,
1
2
⟩
|
2
=
|
⟨
f
|
O
^
|
1
2
,
1
1
⟩
|
2
{\displaystyle \left|\langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{1},1_{2}\rangle \right|^{2}=\left|\langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{2},1_{1}\rangle \right|^{2}}
よって、
⟨
f
|
O
^
|
1
1
,
1
2
⟩
=
e
i
δ
⟨
f
|
O
^
|
1
2
,
1
1
⟩
{\displaystyle \langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{1},1_{2}\rangle =e^{i\delta }\langle f|{\hat {\mathbb {O} }}|1_{2},1_{1}\rangle }
であり、
ボース粒子 のときは
e
i
δ
=
+
1
{\displaystyle e^{i\delta }=+1}
フェルミ粒子 のときは
e
i
δ
=
−
1
{\displaystyle e^{i\delta }=-1}
である。
⟨
f
|
{\displaystyle \langle f|}
O
^
{\displaystyle {\hat {\mathbb {O} }}}
ボース粒子では
|
1
1
,
1
2
⟩
=
+
|
1
2
,
1
1
⟩
{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =+|1_{2},1_{1}\rangle }
フェルミ粒子では
|
1
1
,
1
2
⟩
=
−
|
1
2
,
1
1
⟩
{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =-|1_{2},1_{1}\rangle }
となる。
ここで数演算子は、ボース粒子とフェルミ粒子を区別せずに（つまり対称性を考慮せずに）粒子を数えるだけの演算子であることに注意。
この２種類の粒子の差を見るには、生成消滅演算子が必要となる。
このように複数の同種モードがある場合、ボース粒子のフォック状態は対称性を、フェルミ粒子のフォック状態は反対称性を持たなければならない。
これらの性質を満たすため、以下で述べるように、多重モードのフォック状態をテンソル積を用いて構成する。
テンソル積は、粒子がフェルミ粒子かボース粒子かによって、基となる1粒子ヒルベルト空間 の交代積または対称積でなければならない。
この新しいフォック空間表現では、同じ対称性の性質を表現しなければならない。
そのため各モード
i
{\displaystyle i}
生成消滅演算子 を、以下の交換関係を満たす演算子
b
^
i
†
{\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}
b
^
i
{\displaystyle {\hat {b}}_{i}}
[ 2]
[
b
^
i
,
b
^
j
†
]
≡
b
^
i
b
^
j
†
−
b
^
j
†
b
^
i
=
δ
i
j
{\displaystyle [{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]\equiv {\hat {b}}_{i}{\hat {b}}_{j}^{\dagger }-{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}=\delta _{ij}}
[
b
^
i
†
,
b
^
j
†
]
=
[
b
^
i
,
b
^
j
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]=[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}]=0}
ここで
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
クロネッカーのデルタ である。生成消滅演算子はエルミート演算子ではない[ 2]
生成消滅演算子がエルミート演算子ではない証明
フォック状態
|
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
{\displaystyle |\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }
⟨
⋯
,
n
l
,
⋯
|
b
l
|
⋯
,
(
n
l
−
1
)
,
n
l
,
(
n
l
+
1
)
,
⋯
⟩
=
n
l
⟨
⋯
,
n
l
,
⋯
|
⋯
(
n
l
−
1
)
,
(
n
l
−
1
)
,
(
n
l
+
1
)
,
⋯
⟩
{\displaystyle \langle \cdots ,n_{l},\cdots |b_{l}|\cdots ,(n_{l}-1),n_{l},(n_{l}+1),\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}}}\langle \cdots ,n_{l},\cdots |\cdots (n_{l}-1),(n_{l}-1),(n_{l}+1),\cdots \rangle }
一方で生成演算子をはさむと、
=
⟨
⋯
,
n
l
,
⋯
|
b
l
†
|
⋯
,
(
n
l
−
1
)
,
n
l
,
(
n
l
+
1
)
,
⋯
⟩
=
n
l
+
1
⟨
⋯
,
n
l
−
1
⋯
|
⋯
,
(
n
l
−
1
)
,
(
n
l
+
1
)
,
(
n
l
+
1
)
,
⋯
⟩
{\displaystyle =\langle \cdots ,n_{l},\cdots |b_{l}^{\dagger }|\cdots ,(n_{l}-1),n_{l},(n_{l}+1),\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}+1}}\langle \cdots ,n_{l}-1\cdots |\cdots ,(n_{l}-1),(n_{l}+1),(n_{l}+1),\cdots \rangle }
よって生成(消滅)演算子のエルミート共役は、自分自身にはならない。よってエルミート演算子ではない。
生成演算子のエルミート共役は消滅演算子であり、消滅演算子のエルミート共役は生成演算子である[ 4] :45
各モードの粒子数演算子 を次のように定義する。
N
^
i
≡
b
^
i
†
b
^
i
{\displaystyle {\hat {N}}_{i}\equiv {\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}}
これはエルミート演算子である。この固有値・固有ベクトルは以下を満たす。
N
^
i
|
n
i
⟩
=
n
i
|
n
i
⟩
{\displaystyle {\hat {N}}_{i}|n_{i}\rangle =n_{i}|n_{i}\rangle }
また全数演算子 を、各モード
i
{\displaystyle i}
n
^
=
∑
i
n
^
i
{\displaystyle {\hat {n}}=\sum _{i}{\hat {n}}_{i}}
多重モードにおけるフォック状態
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle }
n
^
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
=
(
∑
i
n
i
)
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {n}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle =\left(\sum _{i}n_{i}\right)|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle }
多重モードフォック状態は、各モードでの
|
n
i
⟩
{\displaystyle |n_{i}\rangle }
直積 （テンソル積 ）で表される。
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
≡
|
n
1
⟩
|
n
2
⟩
⋯
|
n
i
⟩
⋯
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle \equiv |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \cdots |n_{i}\rangle \cdots }
ここで各モードにおける粒子的な解釈を行うことで、多重モード全体の状態を各モードの粒子数 （あるいは占有数 ）を用いて表すことができる。
多重モードのフォック状態におけるそれぞれの生成消滅演算子は、それ自身のモードにのみ作用する。たとえば
b
^
i
{\displaystyle {\hat {b}}_{i}}
b
^
i
†
{\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}
|
n
i
⟩
{\displaystyle |n_{i}\rangle }
[ 2]
b
^
i
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
=
n
i
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
−
1
,
⋯
⟩
b
^
i
†
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
=
n
i
+
1
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
+
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}_{i}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle &={\sqrt {n_{i}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i}-1,\cdots \rangle \\{\hat {b}}_{i}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle &={\sqrt {n_{i}+1}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i}+1,\cdots \rangle \end{aligned}}}
つまり生成消滅演算子の多重モード状態への作用は、それら自身のモードの粒子数（あるいは占有数）を１だけ増加または減少させるだけである。異なるモードに対応する演算子はヒルベルト空間の異なる部分空間に作用する。
たとえば、
真空状態(どの状態にも粒子が無い状態）
|
0
1
,
0
2
,
⋯
,
0
i
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle }
i
{\displaystyle i}
[ 2]
b
^
i
†
|
0
1
,
0
2
,
⋯
,
0
i
,
⋯
⟩
=
|
0
1
,
0
2
,
⋯
,
1
i
,
⋯
⟩
b
^
l
|
0
1
,
0
2
,
⋯
,
0
i
,
⋯
⟩
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}_{i}^{\dagger }|0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle &=|0_{1},0_{2},\cdots ,1_{i},\cdots \rangle \\{\hat {b}}_{l}|0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle &=0\end{aligned}}}
生成演算子を真空状態に作用させることで、どんなフォック状態も作ることができる。
|
n
1
,
n
2
,
⋯
⟩
=
(
b
1
†
)
n
1
n
1
!
(
b
2
†
)
n
2
n
2
!
⋯
|
0
1
,
0
2
,
⋯
⟩
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots \rangle ={\frac {(b_{1}^{\dagger })^{n_{1}}}{\sqrt {n_{1}!}}}{\frac {(b_{2}^{\dagger })^{n_{2}}}{\sqrt {n_{2}!}}}\cdots |0_{1},0_{2},\cdots \rangle }
i 番目のモードの粒子数演算子
N
^
i
{\displaystyle {\hat {N}}_{i}}
[ 2]
N
^
i
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
=
n
i
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {N}}_{i}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle =n_{i}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle }
つまりフォック状態も粒子数演算子の固有ベクトルになっている。
フォック状態は全粒子数の固有状態であるため、全粒子数の測定値の分散は
Var
(
N
^
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {N}})=0}
N
^
=
∑
i
N
^
i
{\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i}{\hat {N}}_{i}}
各モード間の相互作用が無い系を考える。この系の全ハミルトニアン
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
H
^
i
{\displaystyle {\hat {H}}_{i}}
H
^
=
∑
i
H
^
i
{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}{\hat {H}}_{i}}
全ハミルトニアンと全数演算子は交換する。よって多重モードフォック状態は多重モードハミルトニアンの固有状態でもある（同時固有状態 ）。
H
^
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
=
(
∑
i
ℏ
ω
(
n
i
+
1
2
)
)
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
i
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {H}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle =\left(\sum _{i}\hbar \omega \left(n_{i}+{\frac {1}{2}}\right)\right)|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle }
各モードで考えると、モード
i
{\displaystyle i}
H
^
i
{\displaystyle {\hat {H}}_{i}}
粒子数演算子
N
^
i
{\displaystyle {\hat {N}}_{i}}
ここで粒子的な解釈を行うことで、
N
^
i
{\displaystyle {\hat {N}}_{i}}
n
i
{\displaystyle n_{i}}
i
{\displaystyle i}
H
^
i
{\displaystyle {\hat {H}}_{i}}
n
{\displaystyle n}
|
ψ
n
⟩
{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }
フォック状態はエルミート演算子である粒子数演算子の固有ベクトルであるため、正規直交基底 をなす。
このフォック状態（とそれらの線形結合）から成る空間をフォック空間 直和 となる。
フォック空間のベクトルの中で、粒子数 が異なる状態の重ね合わせであるもの（たとえばコヒーレント状態 など）は、数演算子の固有状態ではないためフォック状態ではない。よってフォック空間の全てのベクトルが「フォック状態」と呼ばれる訳ではない。
粒子数 (N)
ボース粒子フォック空間の基底[ 5] :11
0
|
0
,
0
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,0,0,\cdots \rangle }
1
|
1
,
0
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |1,0,0,\cdots \rangle }
|
0
,
1
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,1,0,\cdots \rangle }
|
0
,
0
,
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,0,1,\cdots \rangle }
2
|
2
,
0
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |2,0,0,\cdots \rangle }
|
1
,
1
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |1,1,0,\cdots \rangle }
|
0
,
2
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,2,0,\cdots \rangle }
...
...
ボース粒子フォック状態が粒子の交換によって対称性を示すことを確認する。
ここで２つの状態間の粒子の交換は、ある状態でのある粒子を消滅させ、別の状態での粒子を生成させることで行われる。
フォック状態
|
⋯
,
n
m
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
{\displaystyle |\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
b
^
m
†
b
^
l
=
b
^
l
b
^
m
†
{\displaystyle {\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{l}={\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{m}^{\dagger }}
b
^
m
†
b
^
l
|
⋯
,
n
m
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
b
^
l
b
^
m
†
|
⋯
,
n
m
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
n
m
+
1
n
l
|
⋯
,
n
m
+
1
,
⋯
,
n
l
−
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{l}|\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle &={\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{m}^{\dagger }|\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle \\&={\sqrt {n_{m}+1}}{\sqrt {n_{l}}}|\cdots ,n_{m}+1,\cdots ,n_{l}-1,\cdots \rangle \end{aligned}}}
よってボース粒子フォック状態は粒子の交換において対称的である。
フェルミ粒子 の反対称性を保持するために、フェルミ粒子の生成消滅演算子 を導入する。
フェルミ粒子フォック状態
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }
生成演算子 を次のように作用させる。
c
^
l
†
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
n
l
+
1
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
+
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {c}}_{l}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}+1}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l}+1,\cdots \rangle }
[ 2] 消滅演算子 は次のように作用する。
c
^
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
n
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
−
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {c}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l}-1,\cdots \rangle }
[ 2] これら２つの演算子の作用は反対称的に行われる（後述）。
フェルミ粒子 系における生成消滅演算子の反交換関係は、
{
c
^
i
,
c
^
j
†
}
≡
c
^
i
c
^
j
†
+
c
^
j
†
c
^
i
=
δ
i
j
{\displaystyle \{{\hat {c}}_{i},{\hat {c}}_{j}^{\dagger }\}\equiv {\hat {c}}_{i}{\hat {c}}_{j}^{\dagger }+{\hat {c}}_{j}^{\dagger }{\hat {c}}_{i}=\delta _{ij}}
{
c
^
i
†
,
c
^
j
†
}
=
{
c
^
i
,
c
^
j
}
=
0
{\displaystyle \{{\hat {c}}_{i}^{\dagger },{\hat {c}}_{j}^{\dagger }\}=\{{\hat {c}}_{i},{\hat {c}}_{j}\}=0}
[ 2] ここで
{
,
}
{\displaystyle {\{\ ,\ \}}}
反交換子 、
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
クロネッカーのデルタ である。これらの反交換関係は、フェルミ粒子フォック状態の反対称性を表すために用いられる。
フェルミ粒子 の数演算子は次のように与えられる。
N
^
l
=
c
^
l
†
c
^
l
{\displaystyle {\hat {N}}_{l}={\hat {c}}_{l}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}}
これがフェルミ粒子フォック状態に作用すると、
N
^
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
n
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {N}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle =n_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }
[ 2] 生成消滅演算子や数演算子の作用はボース粒子の場合と同じであるように見えるが、フェルミ粒子フォック状態の最大占有数から違いが生じる。
上述の２つのフェルミ粒子の例を拡張し、
次のように置換演算子のある特定の和を固有ケットのテンソル積に適用することで、
フェルミ粒子フォック状態
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
S
−
|
i
1
,
i
2
,
⋯
,
i
l
,
⋯
⟩
=
1
N
!
|
|
i
1
⟩
1
⋯
|
i
1
⟩
N
⋮
⋱
⋮
|
i
N
⟩
1
⋯
|
i
N
⟩
N
|
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle =S_{-}|i_{1},i_{2},\cdots ,i_{l},\cdots \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}|i_{1}\rangle _{1}&\cdots &|i_{1}\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\|i_{N}\rangle _{1}&\cdots &|i_{N}\rangle _{N}\end{vmatrix}}}
[ 6] :16 この行列式はスレーター行列式 と呼ばれる[要出典 。
もし1粒子状態でも同じものがあればスレーター行列式の2つの行は同じであり、行列式は0になる。
これは2つの同種フェルミ粒子 が同じ状態を占めないことをあらわしている。
よっていかなる単一状態の占有数も0または1のどちらかである。
フェルミ粒子フォック状態に関連する固有値
N
^
l
{\displaystyle {\hat {N}}_{l}}
粒子数 (N)
フェルミ粒子フォック空間の基底[ 5] :11
0
|
0
,
0
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,0,0,\cdots \rangle }
1
|
1
,
0
,
0
⋯
⟩
{\displaystyle |1,0,0\cdots \rangle }
|
0
,
1
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,1,0,\cdots \rangle }
|
0
,
0
,
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,0,1,\cdots \rangle }
2
|
1
,
1
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |1,1,0,\cdots \rangle }
|
0
,
1
,
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,1,1,\cdots \rangle }
|
0
,
1
,
0
,
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle |0,1,0,1,\cdots \rangle }
|
1
,
0
,
1
,
0
,
⋯
⟩
{\displaystyle |1,0,1,0,\cdots \rangle }
...
...
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
β
,
n
α
,
⋯
⟩
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },\cdots \rangle }
c
^
α
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
β
,
n
α
,
⋯
⟩
=
(
−
1
)
∑
β
<
α
n
β
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
β
,
1
−
n
α
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {c}}_{\alpha }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },\cdots \rangle }
ここで
(
−
1
)
∑
β
<
α
n
β
{\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}
ヨルダン-ウィグナーストリング と呼ばれ、含まれる1粒子状態の順序に依存し、全ての前に来る状態のフェルミ粒子占有数を足し合わせる。[ 4] :88
交換演算子のもとでのフェルミ粒子状態の反対称性は、反交換関係によるものである。
ここでは2つの状態間の粒子の交換は、ある状態のある粒子を消滅させ、別の粒子を生成させることで行われる。
フォック状態
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
m
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
{\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m}\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
c
^
m
†
c
^
l
=
−
c
^
l
c
^
m
†
{\displaystyle {\hat {c}}_{m}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}=-{\hat {c}}_{l}{\hat {c}}_{m}^{\dagger }}
c
^
m
†
c
^
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
m
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
n
m
+
1
n
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
m
+
1
,
⋯
,
n
l
−
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\hat {c}}_{m}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{m}+1}}{\sqrt {n_{l}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m}+1,\cdots ,n_{l}-1,\cdots \rangle }
しかし、
c
^
l
c
^
m
†
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
m
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
−
c
^
m
†
c
^
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
m
,
⋯
,
n
l
,
⋯
⟩
=
−
n
m
+
1
n
l
|
n
1
,
n
2
,
⋯
,
n
m
+
1
,
⋯
,
n
l
−
1
,
⋯
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {c}}_{l}{\hat {c}}_{m}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle &=-{\hat {c}}_{m}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle \\&=-{\sqrt {n_{m}+1}}{\sqrt {n_{l}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m}+1,\cdots ,n_{l}-1,\cdots \rangle \end{aligned}}}
よってフェルミ粒子フォック状態は、粒子の交換において反対称性である。
編集
第二量子化 理論では、ハミルトニアン密度 関数は次のように与えられる。
H
=
1
2
m
∇
i
ψ
∗
(
x
)
∇
i
ψ
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\nabla _{i}\psi (x)}
[ 3] :189 全ハミルトニアン は、次のように与えられる。
H
=
∫
d
3
x
H
=
∫
d
3
x
ψ
∗
(
x
)
(
−
∇
2
2
m
)
ψ
(
x
)
(
∴
H
=
−
∇
2
2
m
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\quad (\therefore {\mathfrak {H}}=-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}})}
自由粒子のシュレーディンガー方程式[ 3] :189 は、
H
ψ
n
(
+
)
(
x
)
=
−
∇
2
2
m
ψ
n
(
+
)
(
x
)
=
E
n
0
ψ
n
(
+
)
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}
この解は直交性を満たす。
∫
d
3
x
ψ
n
(
+
)
∗
(
x
)
ψ
n
′
(
+
)
(
x
)
=
δ
n
n
′
{\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}
また消滅演算子を
a
^
n
{\displaystyle {\hat {a}}_{n}}
ψ
(
x
)
=
∑
n
a
^
n
ψ
n
(
+
)
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}{\hat {a}}_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}
よって、
∴
H
=
∑
n
,
n
′
∫
d
3
x
a
^
n
′
†
ψ
n
′
(
+
)
∗
(
x
)
H
a
^
n
ψ
n
(
+
)
(
x
)
{\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x){\mathfrak {H}}{\hat {a}}_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}
相互作用しない粒子においてのみ、
H
{\displaystyle {\mathfrak {H}}}
a
^
n
{\displaystyle {\hat {a}}_{n}}
H
=
∑
n
,
n
′
∫
d
3
x
a
^
n
′
†
ψ
n
′
(
+
)
∗
(
x
)
E
n
0
ψ
n
(
+
)
(
x
)
a
^
n
=
∑
n
,
n
′
E
n
0
a
^
n
′
†
a
^
n
δ
n
n
′
=
∑
n
E
n
0
a
^
n
†
a
^
n
=
∑
n
E
n
0
N
^
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x){\hat {a}}_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\hat {N}}}
これらが交換しない場合、ハミルトニアンは上述の表現を持たない。
よって一般的にフォック状態は系のエネルギー固有状態ではない。
真空状態
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
a
^
{\displaystyle {\hat {a}}}
a
^
†
{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}
a
^
|
0
⟩
=
⟨
0
|
a
^
†
=
0
{\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0}
電磁場とベクトルポテンシャルは同じ一般形のモード展開を持つ。
F
(
r
,
t
)
=
ε
a
e
i
ψ
⋅
r
−
ω
t
+
h
c
{\displaystyle F({\boldsymbol {r}},t)=\varepsilon ae^{i{\boldsymbol {\psi }}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t}+hc}
これらの場の演算子の期待値が真空状態では0になることを見るのは簡単である。
⟨
0
|
F
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}
しかし、これらの場の演算子の二乗の期待値は0ではないことを示すことができる。
このように0アンサンブル平均についての場におけるゆらぎが存在する。
これらの真空ゆらぎは、量子光学におけるラムシフト など多くの興味深い現象の原因となる。
単一フォトンは、シングルエミッター(原子、窒素-空孔中心 [ 7] 量子ドット [ 8] ニオブ酸リチウム (自発的パラメトリック下方変換 )やシリコン(自発的四波混合 )など、通常いくつかの材料の非線形光学作用に依存している。
フォック状態のスダルシャン・グラウバーのP表現 （英語版 ）
φ
(
α
)
{\displaystyle \varphi (\alpha )}
[要説明 はディラックのデルタ関数 の
2
n
{\displaystyle 2n}
^ Friedrichs, K. O. (1953). Mathematical aspects of the Quantum Theory of Fields . Interscience Publishers. ASIN B0006ATGK4 ^ a b c d e f g h i j “Quantum Mechanics 1 Lecture Notes on Identical Particles, TIFR, Mumbai ”. 2018年2月25日 閲覧。
^ a b c Gross, Franz (1999). Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory . Wiley-VCH. ISBN 0471353868
^ a b Altland, Alexander, Simons, Ben (2006). Condensed Matter Field Theory ISBN 0521769752 . https://books.google.com/books?id=0KMkfAMe3JkC&pg=PA39#v=onepage&q&f=false
^ a b Bruus, Flensberg (2003). Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction . OUP Oxford. ISBN 0198566336
^ Schwabl, Hilton, Lahee (2008). Advanced Quantum Mechanics . Springer. ISBN 3540850619 ^ C. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, Patrick and H. Weinfurter, (2000), "Stable Solid-State Source of Single Photons", Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103/PhysRevLett.85.290
^ C. Santori, M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale and Y. Yamamoto (2001), "Triggered Single Photons from a Quantum Dot", Phys. Rev. Lett. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103/PhysRevLett.86.1502
![{\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5204da165171b79bb16644d1588e9092aae7f783)
![{\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {H}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d6b026a21a441deeaaca1bd75e465168996c68)
![{\displaystyle [{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]\equiv {\hat {b}}_{i}{\hat {b}}_{j}^{\dagger }-{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b08d300162486848d80af541d58c6710a9b4dba)
![{\displaystyle [{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]=[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b47a70dbe526137c04898039495bddafc9320a)
