量子力学において数演算子(すうえんざんし)、個数演算子(こすうえんざんし)あるいは粒子数演算子(りゅうしすうえんざんし、: particle number operator)とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

定義

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生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

 

数演算子は以下のように定義される。

 

性質

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エルミート性

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数演算子 はエルミート演算子である。

証明
数演算子の定義 、エルミート演算子の性質 と、 より、
 

生成消滅演算子との交換関係

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数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

 
 
証明
交換関係の性質として が成り立つ。ここへ   を代入すると、
 

数演算子の定義 、交換関係の性質 、生成消滅演算子の定義 を代入すると、

 

2つ目の式についても同様。

固有値は非負

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数演算子の固有値方程式は、

 

この固有値 は非負である。

証明
固有値方程式 の左から をかけると、
 

数演算子の定義 、固有ベクトルの規格化 を代入すると、

 

この左辺は

 

固有ベクトルへの消滅演算子の作用

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数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

 
証明
 の両辺に をかけると、
 

左辺第2項を右辺に移項すると、

 

この式は、 の固有値 に対する固有ベクトル  であることを言っている。

ただし は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。

 

上述の に代入すると なので、正に選べば

 

よって

 

固有値は整数

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数演算子の固有値は整数である。

証明

固有値 が整数でないとする。

上述のように、ある固有値 に対する固有ベクトル に消滅演算子を作用させると ができる。

 

よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは である が作れてしまい、 の非負性と矛盾する。

固有値 が整数だと、 に対する固有ベクトル に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、  が作れないことがわかる。

 

よって の非負性と整合している。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用

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固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

 

となる。真空状態 に生成演算子N回作用させた場合は、

 

よって、

 

n粒子状態

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数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 ν は1粒子基底状態 i から成る。

 

ここで数演算子を生成消滅演算子 ˆa(φi), ˆa(φi) を用いて以下のように定義する。

 

数演算子は以下の性質を持つ。

 

ここで Ni は状態 |ψi の粒子の数である。

証明
 

よって

 

参考文献

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  • 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9 
  • Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6 
  • Second quantization notes by Fradkin

関連項目

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