5の平方根

5の平方根（ごのへいほうこん）は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

直角三角形のうち、直角の一辺が1、片方の直角の一辺が2だと、斜線の一辺が${\sqrt {5}}$になる。

${\sqrt {5}}$

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

$-{\sqrt {5}}$

である。以下、正の平方根について記述する。

${\sqrt {5}}$は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227…

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く（ふじさんろくおうむなく）」などがある。

性質

• ${\sqrt {5}}$は代数的整数である。${\sqrt {5}}$ の有理数体 $\mathbb {Q}$ 上の既約多項式は x ² − 5 である。
• ${\sqrt {5}}$の連分数表示は

${\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

となる。

• 黄金比に ${\sqrt {5}}$ が登場する。具体的には

$1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

で表される。

• フィボナッチ数列の一般項に現れる。

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}$

で表される。

関連項目

• 平方根
• 2の平方根
• 3の平方根
• 6の平方根
• 7の平方根
• 10の平方根
• 立方根

外部リンク

• 5の平方根の近似値（100万桁）2015年3月30日閲覧