調和四角形

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ユークリッド幾何学において、調和四角形^[1]（ちょうわしかくけい、英: harmonic quadrilateral, harmonic quadrangle）は、円に内接し、2つの対辺の長さの積が等しい四角形である^[2]。調和共役、類似中線と関連する幾つかの有用な性質を持つ。

性質

調和四角形 $ABCD$ の対角線 $AC$ の中点を $M$ とする。

$A$ と $C$ における外接円の接線と直線 $BD$ は、一点で交わる（か平行である）。したがって、対角線の極はもう一方の対角線上にある^[3]^[4]。
$∠ BMC$ は $∠ DMC$ と等しい。
角 $B, D$ の二等分線は対角線 $AC$ 上で交わる。
対角線 $BD$ はそれぞれ $△ ABC, △ ADC$ の頂点 $B, D$ における類似中線である。
四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。
対角点は四角形の内部の点の中で、辺との距離の平方の和を最小化する点である^[5]。
$A, B, C, D$ を複素平面上の点と見なしたとき、複比 $(ABCD) = -1$ である^[4]。

$A$ と $C$ における外接円の接線と直線 $BD$ は、一点で交わる（か平行である）
$∠ BMC = ∠ DMC$
角 $B, D$ の二等分線は対角線 $AC$ 上で交わる。
四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。

出典

^ Evan Chen 著、森田康夫, 兒玉太陽, 熊谷勇輝, 宿田彩斗, 平山楓馬訳『数学オリンピック幾何への挑戦』日本評論社、2023年、95, 239頁。ISBN 9784535789784。
^ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, p. 100, ISBN 978-0-486-46237-0
^ “Some Properties of the Harmonic Quadrilateral”. 2024年12月30日閲覧。 Proposition 7
^ ^a ^b “HarmonicQuad”. 2024年12月30日閲覧。
^ “Some Properties of the Harmonic Quadrilateral”. 2024年12月30日閲覧。 Proposition 6

参考文献

Gallatly, W. "The Harmonic Quadrilateral." §124 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 90 and 92, 1913.

関連項目

擬調和三角形

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