箙 (数学)

数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（英: quiver）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。P. Gabriel（フランス語版）によって1972年に導入された^[1]。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。

箙の例

定義

集合 $V, E$ と写像 $s, t : E \to V$ が与えられたとき、組 $Q = (V, E, s, t)$ を箙という^[2]。このとき $V$ の元を頂点、 $E$ の元を辺あるいは矢という。また辺 $α \in E$ に対して頂点 $s (α)$ を始点、 $t (α)$ を終点という。 $(V, E)$ は $(Q 0, Q 1)$ や $(I, Ω)$ とも書かれ、 $s$ , $t$ は $out$ , $in$ とも書かれる。

頂点集合 $V$ と辺集合 $E$ が共に有限集合のとき、箙 $Q$ は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。

辺の列 $α 1, \dots, α n \in E$ が条件 $t (α i) = s (α i + 1) (1 \leq i < n)$ を満たすとき、辺の列 $α 1, \dots, α n$ を道という。このとき $n \geq 1$ を道の長さ、頂点 $a = s (α 1)$ を道の始点、 $b = t (α n)$ を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。

(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}|b)

ここで、頂点 $v \in V$ のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は $v$ と定める。上と同様にこれを $(v || v)$ と表す。

道代数

箙 $Q$ に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 $k$ 上の自由線型空間を $kQ$ とおく。ここで道 $(a | α 1, \dots, α n | b)$ と $(c | β 1, \dots, β m | d)$ に対して以下のように積を定める。

(a|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}|b)(c|\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)={\begin{cases}(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n},\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)&(b=c)\\0&(b\neq c)\end{cases}}

この代数 $kQ$ を道代数（英: path algebra）という^[3]。

例

頂点集合 $V$ を ${1, \dots, n}, 辺集合 E を {α 1, \dots, α n -1}, s (α i) = i + 1, t (α i) = i とおく。通常、箙 Q = (V, E, s, t) は以下のように図示される。$

Q:1{\stackrel {\alpha _{1}}{\longleftarrow }}2{\stackrel {\alpha _{2}}{\longleftarrow }}\dotsb {\stackrel {\alpha _{n-1}}{\longleftarrow }}n

このとき、道代数 $kQ$ は $n$ 次下三角行列のなす代数と同型である^[4]。

また頂点集合 $V$ を一点集合 {1}、辺集合 $E$ を ${α 1, \dots, α n}$ , $s (α i) = 1$ , $t (α i) = 1$ とおく。このとき、道代数 $kQ$ は自由代数 $k ⟨ x 1, \dots, x n ⟩$ と同型である。

箙の表現

箙 $(I, Ω)$ の表現とは， $I$ -次数付きベクトル空間 $(V i) i \in I$ と線型写像 $(φ α : V out(α) \to V in(α)$ )_{α ∈ Ω} の組である．

この表現 $V$ が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル $dim V$ とは $(dim V i) i \in I$ のことである。

2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。

とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。

有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。

有限次元代数の表現論との関係

有限な箙 $Q$ のすべての辺から生成される道代数 $kQ$ の両側イデアルを $R$ とおく。このとき、道代数 $kQ$ の両側イデアル $I$ が認容的（英: admissible）であるとは、

R^{m}\leq I\leq R^{2}

となる自然数 $m \geq 2$ が存在することをいう^[5]。

代数的閉体 $k$ 上の任意の有限次元代数 $A$ に対して、有限な箙 $Q$ とその道代数 $kQ$ の認容的イデアル $I$ が存在して、有限次元代数 $A$ は商代数 $kQ / I$ と森田同値である^[6]。

ガブリエルの定理

→詳細は「ガブリエルの定理」を参照

ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつける^[7]。

脚注

^ Gabriel, Peter (1972), “Unzerlegbare Darstellungen. I”, Manuscripta Mathematica 6 (1): 71–103, doi:10.1007/BF01298413, ISSN 0025-2611, MR0332887
^ Assem et al. 2006, p. 41.
^ Assem et al. 2006, p. 43.
^ Assem et al. 2006, p. 52.
^ Assem et al. 2006, p. 53.
^ Zimmermann 2014, p. 414.
^ Assem et al. 2006, p. 291, 5.10. Theorem.

参考文献

Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej (2006). Elements of the Representation Theory of Associative Algebras 1. Techniques of Representation Theory. London Mathematical Society student texts. 65. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58423-X. MR2197389. Zbl 1092.16001

Zimmermann, Alexander (2014). Representation Theory: A Homological Algebra Point of View. Algebra and applications. Springer. ISBN 978-3-319-07967-7. MR3289041. Zbl 1306.20001

外部リンク

[1] Gabriel, Peter (1972), “Unzerlegbare Darstellungen. I”, Manuscripta Mathematica 6 (1): 71–103, doi:10.1007/BF01298413, ISSN 0025-2611, MR0332887

[FOOTNOTEAssem_et_al.200641-2] Assem et al. 2006, p. 41.

[FOOTNOTEAssem_et_al.200643-3] Assem et al. 2006, p. 43.

[FOOTNOTEAssem_et_al.200652-4] Assem et al. 2006, p. 52.

[FOOTNOTEAssem_et_al.200653-5] Assem et al. 2006, p. 53.

[FOOTNOTEZimmermann2014414-6] Zimmermann 2014, p. 414.

[FOOTNOTEAssem_et_al.20062915.10._Theorem-7] Assem et al. 2006, p. 291, 5.10. Theorem.

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