自由代数

数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、英: free algebra）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。

定義

可換環 $R$ に対し、 $n$ 不定元 ${X 1, ..., X n}$ 上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット ${X 1, ..., X n}$ 上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由 $R$ 加群である。この $R$ 加群は積を以下のように定義して $R$ 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合

\left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}},

であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば $R$ 代数における積は $R$ 双線型でなければならないからである）。この $R$ 代数は $R ⟨ X 1, ..., X n ⟩$ と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 $X$ に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 $X = {X i | i \in I}$ に対して、 $X$ 上の自由（結合的単位的 $R$ -代数は

R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw

に語の積が結合となる $R$ -双線型な積が入ったものである、ただし $X *$ は $X$ 上の自由モノイド（すなわちアルファベット $X i$ 上の語すべてからなるモノイド）を表し、 $\oplus$ は外部直和を表し、 $Rw$ は1元、語 $w$ 上の自由 $R$ 加群を表す。

例えば、 $R ⟨ X 1, X 2, X 3, X 4 ⟩$ において、スカラー $α, β, γ, δ \in R$ に対して、2元の積の具体例は $(\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}$ である。

自由 $R$ -代数 $R ⟨ X ⟩$ は自由モノイド $X *$ の $R$ 上のモノイド環 $R [X *]$ と同一視できる。

多項式との対照

アルファベット ${X 1, ..., X n}$ 上の語全体は $R ⟨ X 1, ..., X n ⟩$ の基底をなすから、 $R ⟨ X 1, ..., X n ⟩$ の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：

\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

ただし $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ は $R$ の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ $R ⟨ X 1, ..., X n ⟩$ の元が「変数」（あるいは「不定元」 $X 1, ..., X n$ の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元 $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、 $R$ 代数 $R ⟨ X 1, ..., X n ⟩$ は「 $R$ 上の $n$ 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば $X 1 X 2$ は $X 2 X 1$ と等しくない。