漸近展開 （ぜんきんてんかい、英 : Asymptotic expansion ）とは、与えられた関数 を、より簡単な形をした関数列の級数 として近似することをいう。テイラー展開 は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束 するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析 [ 1] 特殊関数 に対する数値解析 [ 2] 確率論 の基礎として用いることがある[ 3]
任意の関数
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
1
/
(
x
−
1
)
∼
∑
k
=
1
∞
x
−
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
1
/
(
x
−
1
)
∼
∑
k
=
1
∞
(
x
2
+
x
+
1
)
x
−
3
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。
さらに、漸近級数の各係数は
a
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
,
a
n
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
φ
k
(
x
)
φ
n
(
x
)
(
n
≥
1
)
{\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}
で与えられる。
点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)}
{
φ
n
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ
k
(
x
)
g
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
b
k
φ
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
α
f
(
x
)
+
β
g
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
(
α
a
k
+
β
b
k
)
φ
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
さらに、漸近関数列が
{
φ
(
x
)
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}}
(
φ
(
x
)
→
∞
(
x
→
x
0
)
)
{\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))}
f
(
x
)
g
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
c
n
φ
(
x
)
n
(
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分 した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列
{
φ
n
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
n に対して、
x
0
{\displaystyle x_{0}}
{
φ
n
′
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
となる漸近展開を持ち、
f
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!}
{
φ
n
′
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
f
′
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ
k
′
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
|
x
0
|
<
∞
{\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty }
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
とする。定積分
Φ
n
(
x
)
=
∫
x
0
x
φ
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}
が各 n に対して存在するならば、
F
(
x
)
=
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}
が存在して、
F
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
Φ
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
x
0
=
∞
{\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty }
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}
を持つ場合、
∫
x
∞
(
f
(
t
)
−
a
0
−
a
1
t
)
d
t
∼
∑
k
=
2
∞
a
k
(
k
−
1
)
x
k
−
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}
とする必要がある。
ガンマ関数 は
Γ
(
x
+
1
)
∼
2
π
x
(
x
e
)
x
(
1
+
1
12
x
+
1
288
x
2
−
139
51840
x
3
−
⋯
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗 の漸近展開を与え、スターリングの公式 よりも精密な近似級数になっている[ 5]
合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function ):
1
F
1
(
α
;
γ
;
z
)
:=
∑
n
=
0
∞
(
α
)
n
(
γ
)
n
n
!
z
n
,
z
∈
C
{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }
は次の漸近展開を持つ[ 6] [ 7] [ 8]
1
F
1
(
α
;
γ
;
z
)
∼
Γ
(
γ
)
Γ
(
γ
−
α
)
(
exp
(
−
i
π
)
z
)
−
α
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
(
α
)
k
(
α
−
γ
+
1
)
k
k
!
1
z
k
]
+
Γ
(
γ
)
Γ
(
α
)
exp
(
z
)
z
α
−
γ
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
γ
−
α
)
k
(
1
−
α
)
k
k
!
1
z
k
]
,
−
π
2
<
arg
(
z
)
<
3
π
2
,
|
z
|
→
∞
.
{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}
arg
{\displaystyle \arg }
複素数の偏角 であり、
(
α
)
k
{\displaystyle (\alpha )_{k}}
ポッホハマー記号 [ 9]
誤差関数
erfc
(
x
)
=
2
π
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}
は、以下の様な漸近展開を持つ[ 10]
erfc
(
x
)
∼
e
−
x
2
π
x
(
1
−
1
2
x
2
+
1
⋅
3
2
2
x
4
−
1
⋅
3
⋅
5
2
3
x
6
+
⋯
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
指数積分
Ei
(
x
)
=
∫
x
∞
e
x
−
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}
の漸近展開は、
Ei
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
+
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与えられる。
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
ラプラス変換
F
(
x
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
x
t
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}
の漸近展開は、
F
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
1
x
n
+
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与えられる。
微分方程式
x
2
y
″
+
(
3
x
+
1
)
y
′
+
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}
の解は
y
(
x
)
=
∫
0
∞
e
−
t
1
+
x
t
d
t
{\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}
で与えられ、
y
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
(
x
→
0
)
{\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)}
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の
x
≠
0
{\displaystyle \scriptstyle x\neq 0}
[ 注釈 2]
求積法 等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。
調和級数 は
H
n
∼
ln
n
+
γ
+
1
2
n
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
n
2
k
=
ln
n
+
γ
+
1
2
n
−
1
12
n
2
+
1
120
n
4
−
⋯
,
{\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}
という漸近展開を持つ[ 11]
γ
{\displaystyle \gamma }
オイラー・マスケローニ定数 、
B
k
{\displaystyle B_{k}}
ベルヌーイ数 である。
^ 漸近展開は複素数 の領域にも拡張することができるが、ここでは定義や結果等を簡単にするため、実数の領域に限定する。
^ 各 x に対して、最初の数項（項数は x に依存する）までの和を取れば、積分表示された解のいい近似を与える。
^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press .
^ Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. en:Society for Industrial and Applied Mathematics .
^ 伏見 p. 22
^ 伏見 p. 27
^ 伏見 p. 24
^ 犬井鉄郎 . 特殊関数. 岩波書店 .^ 時弘哲治. 工学における特殊関数. 共立出版 .
^ functions.wolfram.com ^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
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Bruijn N.G.: Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications, ISBN 0-486-64221-6 (1958年).
Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation . London: en:Academic Press .
Bleistein, Norman and Handelsman Richard A.: Asymptotic Expansions of Integrals , Dover Publications, ISBN 0-486-65082-0 (1975年).
Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions . AK Peters/CRC Press.
Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications . en:Cambridge University Press .
Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . en:Society for Industrial and Applied Mathematics .
Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory . en:Springer Science & Business Media .
Paris, R.B.: Hadamard Expansions and Hyperasymptotic Evaluation: An Extension of the Method of Steepest Descents , Cambridge University Press(Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 141), ISBN 978-1-107-00258-6 (2011年).
![{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc728ad6dac98d2e16bd66fc235df24fbae79ba)
