正弦定理

三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したもの

正弦定理(せいげんていり、:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

概要

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△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径R とすると、

 

が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。

これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した

  あるいは  

を正弦定理であると表現することもできる。

証明

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以下の証明では角度弧度法で表している。なお π = 180°である。

0 < ∠A < π/2 のとき

直径 BD を取る。

円周角の定理より ∠A = ∠D である。

△BDC において、BD は直径だから、

 

である。よって、正弦の定義より、

 

である。ゆえに

 

変形すると

 

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

∠A = π/2 のとき

BC = a = 2R であり、

 

であるから、

 

は成り立つ。

π/2 < ∠A < π のとき

直径 BD を取る。

円に内接する四角形の性質から、

 

である。つまり、

 

となる。 BD は直径だから、

 

である。よって、正弦の定義より、

 

である。変形すると

 

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

以上より正弦定理が成り立つ。

また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」(円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理)を導くことができる。

球面三角法における正弦定理

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球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、

 

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。

関連項目

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外部リンク

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  • 世界大百科事典 第2版『正弦定理』 - コトバンク
  • 正弦定理の意味と6通りの証明・頻出の応用例』 - 高校数学の美しい物語
  • Weisstein, Eric W. "Law of Sines". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Russell, Robert A. [in 英語]. "Generalized Law of Sines". mathworld.wolfram.com (英語).