数のクラス分け

数のクラス分け（かずのクラスわけ）とは、Robert Munafoが考案した数字の大きさによるグループ分けであり、人間の心が数字をどのように理解するかによって分類をした。

クラス0の数字

クラス0の数字は、わずかな時間で認識できる数字である。多くの人間にとって、その数字は0から6までである。

クラス1の数字

クラス1の数字は、物体のまとまりとして、おおよその数を把握できる数字で、クラス0よりも大きい数字である。つまり、 $x$ がクラス1の数字であれば、 $x$ 個の物体を一目で見ることができる。クラス1の数字は、 $6$ 超過から $10^{6}$ (100万)以下までとされている。100万個の物体を一度に視野に入れることは難しいが、不可能ではないためである。

クラス2の数字

クラス2の数字は、10進数で正確に表記出来るだけの大きさで、クラス1よりは大きな数である。クラス2の数字は $10^{6}$ 超過から $10^{10^{6}}$ 以下までである。これは単純に、クラス0とクラス1の関係をそのまま続けて、クラス $x$ の数の常用対数(10を底とした対数)がクラス ( $x-1$ ) の数となるように定義をした。したがって、グーゴルは101桁の数字として書くことができるため、このクラスの数になる。

クラス3の数字

クラス3の数字は、仮数・指数表記で近似的に表現できる数字である。これまでのパターンを踏襲して、数字の範囲は $10^{10^{6}}$ 超過から $10^{10^{10^{6}}}$ 以下までとなる。グーゴルプレックスはクラス3の数字である。

コンピュータの中で指数として数字を記憶する時には、クラス3の数字 $x$ は $x+1$ とほぼ等しい。

クラス4の数字

クラス4の数字は10の対数を取るとクラス3になる。 $10^{10^{10^{6}}}$ 超過から $10^{10^{10^{10^{6}}}}$ 以下までの数字である。コンピュータの中で指数タワーとして記憶すると、クラス4の数字 $x$ は $2x$ とほぼ等しくなる。クラス4以上の数字は近似計算の場合、仮数・指数表記にしようとしても仮数が意味をなさなくなる。

さらに高いクラス

クラス5の数字は10の対数を取るとクラス4になる。 $10^{10^{10^{10^{6}}}}$ 超過から $10^{10^{10^{10^{10^{6}}}}}$ 以下までである。もしそれを指数タワーで表すと、クラス5の数字 $x$ は大体 $x^{2}$ である。

一般的に、クラス $n$ の数はクラス $n-1$ の数よりも大きく、10の対数を取るとクラス $n-1$ となる。また、クラス $n$ の数はハイパーE表記で $E6\#n$ 以下の数である。

定義

0以上の実数 $x$ のクラスを $f(x)$ としたとき、 $f(x)$ を次のように定義する。

$c(0)=6$

$c(n+1)=10^{c(n)}$

$f(x)=\min\{n|c(n)\geq x\}$

計算例

実際に具体的な数がどのクラスに属するかを提示する。ここではクラス6以上の数について扱う。

グーゴルクアドリプレックス( $10^{10^{10^{10^{10^{100}}}}}$ )　クラス $6$
ベントレー数( $\sum _{i=0}^{9}10\uparrow \uparrow i\approx 10\uparrow \uparrow 9$ )　クラス $6$
スタインハウスのメガ( $2[5]$ )　クラス $256$
トリトリ( $3\uparrow \uparrow \uparrow 3$ )　クラス $7625597484986$

ハイパークラス

クラスよりも大きな数を分けるものとしてハイパークラスが定義されている。

これは、巨大数論(フィッシュ著)の本の中でのみ使用された定義である。

定義

$0$ 以上の実数 $x$ のハイパークラスを $f(x)$ としたとき、 $f(x)$ を次のように定義する。

$hc(0)=6$

$hc(n+1)=c(hc(n))$

$f(x)=\min\{n|hc(n)\geq x\}$

$c(n)$ の増加速度は、テトレーションレベルである。

そのため、テトレーションの積む段数が多すぎると数を評価しにくくなる。

そのため、ペンテーションレベルの数を評価するうえでハイパークラスは適している。

ただし、ペンテーションを超えてくると評価しにくくなるので(ヘキセーションなど)、そこで頭打ちになる。

計算例

実際に具体的な数がどのハイパークラスに属するかを提示する。

トリトリ( $3\uparrow \uparrow \uparrow 3$ )　ハイパークラス $2$
スタインハウスのメジストロン( $10[5]$ )　ハイパークラス $11$
ギャゴル( $\{10,100,3\}$ )　ハイパークラス $100$
グラハル( $3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ )　ハイパークラス $3\uparrow \uparrow \uparrow 3$