多項定理

二項定理の一般化

数学における多項定理(たこうていり、: multinomial theorem)とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。

定理の主張

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多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m, 非負整数 n に対して、m項和の任意の n-冪を展開すると

 

となることを示すものである。ここで係数 (n
k1, …, km
)
多項係数と呼ばれ、

 

となる。また、k1, k2, …, km は非負整数であり、総和は k1 + k2 + … + km = n となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は n となる。また、x0 はここでは、二項定理の場合と同様に、(x が零のときも含めて恒等的に)1 と定義している。

  • m = 2 のとき、主張は二項定理である。

多重添字記法を用いると、定理の主張は

 

略記できる。ここに、α = (α1, α2, …, αm), x = (x1, x2, …, xm) であって、xα = xα1
1
xα2
2
⋅ ⋯ ⋅xαm
m
および |α| = α1 + α2 + … + αm, α! = α1! α2! ⋅ … ⋅ αm! に対して (n
α
) = n!/α! = |α|/α!
である。

例えば、  を展開すると、次のようになる:

 

証明

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組合せ論的証明

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二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。

n個の (x1 + x1 + … + xm) の積を一度に展開し切ることを考える。

 

一度に展開すると、それぞれの (x1 + x1 + … + xm) から x1, …, xm の1つだけを取った文字 n個の総乗総和となる。

これらの積のうち、並び替えて x1k1xmkm (k1 + … + km = n) になるものは、k1個の x1、…、km個の xm を並べる場合の数だけあるから、多項係数 (n
k1, …, km
)
、すなわち x1k1xmkm の係数は n!/k1!…km! となる。

指数について帰納法

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二項定理と同様に、指数 n についての数学的帰納法で証明できる。

n =1 のとき、

 
 

より成り立つ。

ある n について成り立つと仮定する。

 

より、

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

最後の等号は

 

が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示:

 

を通分すると左辺になることが示せる。

項数について帰納法

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二項定理を既知とすると、項数 m について数学的帰納法により証明できる。

まず m = 1 のとき、k1 = n であり両辺は単項で x1n に等しい。

次に、m に対して多項定理が成り立つと仮定する。

 

に帰納法の仮定を適用して

 

を得る。最後の等号は

 

が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば

 

と示せる。

応用例

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一般ライプニッツ則

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3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則を適用することができる:

  •  

参考文献

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関連項目

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外部リンク

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  • 多項定理の例題と2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
  • mutinom.m function in Specfun (since 1.1.0) package of Octave-Forge for GNU Octave. SVN version
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Multinomial coefficient”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Multinomial_coefficient