一般のライプニッツの法則

数学微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則(いっぱんのライプニッツのほうそく、: general Leibniz rule[1]一般ライプニッツ則)あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則(これもまたライプニッツの法則と呼ばれる)の一般化であり、f, gn回微分可能な関数とするとき、それらの積 fgn階微分が

で与えられることを述べるものである。ここで (n
k
)
二項係数である。ドイツ哲学者数学者ゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

n = 1 のとき (積の微分法則)
 
n = 2 のとき
 
n = 3 のとき
 

各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。

多因子版

編集

f1, …, fmm個の n階微分可能函数のとき、

 

と書ける。

ここで、 多項係数である。

多変数版

編集

多重指数記法を使い、より一般に

 

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、P, Q を(係数が十分多くの回数微分可能であるような)微分作用素とし、RPQ とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が   で与えられるから、ここに直接計算によって

 

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間にはの構造が入る。

関連項目

編集

注釈

編集
  1. ^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

外部リンク

編集
  • ライプニッツの公式の証明と二項定理』 - 高校数学の美しい物語
  • Weisstein, Eric W. "Leibniz Identity". mathworld.wolfram.com (英語).
  • generalizations of the Leibniz rule - PlanetMath.(英語) / proof of generalized Leibniz rule - PlanetMath.(英語)
  • Leibniz's Rule at ProofWiki