スカラー四重積 は2つのクロス積 のドット積 である。
(
a
×
b
)
⋅
(
c
×
d
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})}
ここで a b c d
幾何学的には a b c d 射影 )を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式 )
(
a
×
b
)
⋅
(
c
×
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
=
det
(
a
⋅
c
a
⋅
d
b
⋅
c
b
⋅
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\&=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
が成り立つ。
スカラー三重積 の公式およびベクトル三重積 の公式を使えば
(
a
×
b
)
⋅
(
c
×
d
)
=
(
(
a
×
b
)
×
c
)
⋅
d
=
(
(
a
⋅
c
)
b
−
(
b
⋅
c
)
a
)
⋅
d
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=(({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=(({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}}
と導ける。
あるいは線形代数学 におけるビネ・コーシーの恒等式
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
d
j
)
−
(
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
c
j
)
{\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)}
を既知とすれば、n =3の特別な場合として、上記の式が得られる。
また、特別な場合である
‖
a
×
b
‖
2
=
‖
a
‖
2
‖
b
‖
2
−
(
a
⋅
b
)
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}}
も有用な公式でラグランジュの恒等式 （英語版 ）
ベクトル四重積 は2つのクロス積のクロス積である。
(
a
×
b
)
×
(
c
×
d
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})}
ここで a b c d
幾何学的には a b c d
ベクトル三重積 の公式を使えば
(
a
×
b
)
×
(
c
×
d
)
=
[
a
,
b
,
d
]
c
−
[
a
,
b
,
c
]
d
=
[
a
,
c
,
d
]
b
−
[
b
,
c
,
d
]
a
{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}}
が得られる。ただし [a b c a b c
2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X c d a b Y
[
a
,
b
,
c
]
r
=
[
r
,
b
,
c
]
a
+
[
a
,
r
,
c
]
b
+
[
a
,
b
,
r
]
c
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}}
が得られる。
これは [a b c 基底 {a b c 正規直交基底 とは限らない)における r
(
[
r
,
b
,
c
]
[
a
,
b
,
c
]
,
[
a
,
r
,
c
]
[
a
,
b
,
c
]
,
[
a
,
b
,
r
]
[
a
,
b
,
c
]
)
{\displaystyle \left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)}
であること示す。
あるいは、(a b c 行列 としたときの連立方程式
(
a
b
c
)
(
x
y
z
)
=
r
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}}){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\boldsymbol {r}}}
に対するクラメルの公式
(
x
y
z
)
=
1
det
(
a
b
c
)
(
det
(
r
b
c
)
det
(
a
r
c
)
det
(
a
b
r
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}}
と同じである。
(
a
×
b
)
×
(
a
×
c
)
=
[
a
,
b
,
c
]
a
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}}
が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。
a b a c a a b c 一次従属 ([a b c 共面 であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a b c a
![{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a932ff01f0b30f7639097aaeb2110d9a648bb327)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1b2d8a26ab7db9cc29a46d9bbebaf99bdac189)
![{\displaystyle \left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347d9221b04f21282c587cbbffbcd60a28fa3001)
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f968913af64624ace4119498795330b94257bbb6)