数学における中心二項係数(ちゅうしんにこうけいすう、英: Central binomial coefficient)は、n番目の中心二項係数を
![{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}\qquad (n\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f3ddc7fe94a83c711046e60b3954b11feac421)
とする。パスカルの三角形の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。
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中心二項係数の n ≧ 0 の値は
- 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000984)
- パスカル行列では、対角線に沿って表示される。
![{\displaystyle A_{10,10}={\begin{bmatrix}{\underline {1}}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&{\underline {2}}&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&{\underline {6}}&10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&{\underline {20}}&35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&{\underline {70}}&126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&{\underline {252}}&462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&{\underline {924}}&1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&{\underline {3432}}&6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&{\underline {12870}}&24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&{\underline {48620}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d7c2135ef7e20799cd4aa0e005fa5b70387720)
属関数は中心二項係数に適用される。
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ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。
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最後の式は、スターリングの公式を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。
単純な境界は次のように与えられる。
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より良い境界は次のとおり:
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そして、さらに高い精度が必要な場合:
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奇数の中心二項係数は 1 だけである。[1]
n番目のカタラン数を Cn とすると
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中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。
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n は実数で、ここで はガンマ関数、 はベータ関数である。
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- はパスカルの三角形のn番目の行の2乗の合計になる。
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