数学において、ある多項式列 一般化アペル表現(いっぱんかアペルひょうげん、: generalized Appell representation)が存在するとは、その多項式母関数が次の形式を取ることを言う:

ただし母関数あるいはと呼ばれる は、次の級数によって構成される:

with

および

and all

および

with

上述のように、次数 の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ=バック多項式が挙げられる。

特別な場合

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陽的表現

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一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

 

この定数は

 

で与えられる。ただしこの和は    個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての   に対して取られる。

 

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

 

漸化式

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   に対し   と書くことが出来るための必要十分条件は

 

が成り立つことである。ただし   および   にはべき級数表現

 

および

 

が存在する。今

 

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

 

ブレンケ多項式の特別な場合として、  が得られ、したがって   が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

関連項目

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参考文献

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  • Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
  • William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
  • W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.