2次元ケプラー問題 のハミルトニアン は、
p
=
(
p
1
,
p
2
)
{\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})}
q
=
(
q
1
,
q
2
)
{\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})}
H
(
p
,
q
)
=
1
2
(
p
1
2
+
p
2
2
)
−
μ
q
1
2
+
q
2
2
{\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})-{\frac {\mu }{\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}}
により与えられる。対応する運動方程式は
d
q
j
d
t
=
p
j
,
d
p
j
d
t
=
−
μ
q
j
(
q
1
2
+
q
2
2
)
3
/
2
,
(
j
=
1
,
2
)
{\displaystyle {\frac {dq_{j}}{dt}}=p_{j},\ \ {\frac {dp_{j}}{dt}}=-{\frac {\mu q_{j}}{(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})^{3/2}}},\ \ (j=1,2)}
である。この方程式は重力源からの距離
r
=
q
1
2
+
q
2
2
{\displaystyle r={\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}
この系に次の母関数
W
(
p
,
Q
)
{\displaystyle W(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} )}
(
p
,
q
)
↦
(
P
,
Q
)
{\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )}
[ 8]
W
(
p
,
Q
)
=
p
1
(
Q
1
2
+
Q
2
2
)
+
2
p
2
Q
1
Q
2
{\displaystyle W(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} )=p_{1}(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})+2p_{2}Q_{1}Q_{2}}
この正準変換は具体的に次のように表示できる。
(
q
1
q
2
)
=
(
Q
1
−
Q
2
Q
2
Q
1
)
(
Q
1
Q
2
)
,
(
p
1
p
2
)
=
1
4
(
Q
1
2
+
Q
2
2
)
(
2
Q
1
−
2
Q
2
2
Q
2
2
Q
1
)
(
P
1
P
2
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}},\ \ {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})}}{\begin{pmatrix}2Q_{1}&-2Q_{2}\\2Q_{2}&2Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\end{pmatrix}},\ \ }
次節でこの変換の詳細な性質について見るが、ここでは
q
1
2
+
q
2
2
=
Q
1
2
+
Q
2
2
{\displaystyle {\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}}
D
:=
4
(
Q
1
2
+
Q
2
2
)
{\displaystyle D:=4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})}
H
~
(
P
,
Q
)
=
H
(
p
(
P
,
Q
)
,
q
(
P
,
Q
)
)
{\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )=H(\mathbf {p} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ),\mathbf {q} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ))}
H
~
(
P
,
Q
)
=
1
2
D
(
P
1
2
+
P
2
2
)
−
μ
Q
1
2
+
Q
2
2
{\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2D}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})-{\frac {\mu }{Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}}}}
であり、運動方程式は
d
Q
j
d
t
=
P
j
D
,
d
P
j
d
t
=
4
D
2
(
P
1
2
+
P
2
2
−
8
μ
)
Q
j
{\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{dt}}={\frac {P_{j}}{D}},\ \ {\frac {dP_{j}}{dt}}={\frac {4}{D^{2}}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-8\mu )Q_{j}}
となる[ 9]
r
→
0
{\displaystyle r\to 0}
Levi-Civita変換では物理的な時間
t
{\displaystyle t}
s
{\displaystyle s}
d
t
=
D
(
Q
1
,
Q
2
)
d
s
{\displaystyle dt=D(Q_{1},Q_{2})ds}
である[ 10]
d
Q
j
d
s
=
P
j
,
d
P
j
d
s
=
8
H
~
(
P
,
Q
)
Q
j
,
d
t
d
s
=
D
{\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{ds}}=P_{j},\ \ {\frac {dP_{j}}{ds}}=8{\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )Q_{j},\ \ {\frac {dt}{ds}}=D}
という方程式系へと変換される。これは極限
r
=
Q
1
2
+
Q
2
2
→
0
{\displaystyle r=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\to 0}
H
~
{\displaystyle {\tilde {H}}}
ω
=
−
8
H
~
{\displaystyle \omega ={\sqrt {-8{\tilde {H}}}}}
調和振動子 の方程式に等しい。
なお、この運動方程式は形式的に
(
P
,
Q
;
T
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ;T,t)}
Γ
=
1
2
(
P
1
2
+
P
2
2
)
+
4
T
(
Q
1
2
+
Q
2
2
)
−
4
μ
{\displaystyle \Gamma ={\frac {1}{2}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})+4T(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})-4\mu }
に対応する正準方程式に (
T
{\displaystyle T}
H
~
{\displaystyle {\tilde {H}}}
[ 11]
Q
j
{\displaystyle Q_{j}}
編集
ケプラー運動 (離心率 e =0, 0.5, 0.95) を物理空間およびLevi-Civita変換によるパラメータ空間でアニメーションにしたもの。物理空間では楕円を描くが、Levi-Civita変数では調和振動子 と同じリサジュー図形 となる。 Levi-Civita変換による座標の変換
(
q
1
,
q
2
)
↦
(
Q
1
,
Q
2
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2})\mapsto (Q_{1},Q_{2})}
{
q
1
=
Q
1
2
−
Q
2
2
q
2
=
2
Q
1
Q
2
{\displaystyle {\begin{cases}q_{1}&=Q_{1}^{2}-Q_{2}^{2}\\q_{2}&=2Q_{1}Q_{2}\end{cases}}}
であった。あるいは、行列表記ではこの変換は次のように書ける。
(
q
1
q
2
)
=
(
Q
1
−
Q
2
Q
2
Q
1
)
(
Q
1
Q
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}}}
この変換は、虚数単位
i
{\displaystyle i}
[ 12]
q
1
+
i
q
2
=
(
Q
1
+
i
Q
2
)
2
{\displaystyle q_{1}+iq_{2}=(Q_{1}+iQ_{2})^{2}}
このことは、もとの空間で座標原点 (
r
=
0
{\displaystyle r=0}
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
θ
=
2
π
{\displaystyle \theta =2\pi }
ψ
=
0
→
π
{\displaystyle \psi =0\rightarrow \pi }
(
q
1
,
q
2
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2})}
(
Q
1
,
Q
2
)
{\displaystyle (Q_{1},Q_{2})}
s
{\displaystyle s}
編集
fictitious time
s
{\displaystyle s}
離心近点角
E
{\displaystyle E}
E
=
2
ω
s
{\displaystyle E=2\omega s}
[ 13]
三体問題 の特別な初期条件のもとでの系の進化を問うピタゴラス三体問題 は、系が最終状態に落ち着くまでに二体の近接散乱が繰り返される。SzebehelyとPetersが1967年にこの問題の数値シミュレーションを行った際には、計算精度が落ちるのを防ぐため、また計算時間を削減するために、近接散乱が発生する度にLevi-Civita変換を適用し、信頼できる解を得た[ 14]
^ Celletti, p. 207.
^ 「レビー-チビタ変換 」 - 日本天文学会 編『天文学辞典』
^ Levi-Civita, T. (1903). Annal. Mat. Pura Appl. 9 (3): 1-32. ^ Levi-Civita, T. (1904). Ann. Mat. Ser. 3 : 9. ^ Levi-Civita, T. (1906). “Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps” . Acta Math. 30 : 305-327. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887161 . ^ T., Levi-Civita (1920). “Sur la régularisation du problème des trois corps” . Acta Math. 42 : 99-144. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887516 . ^ Kustaanheimo, P.; Stiefel, E. (1965). “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization”. J. Reine Angew. Math. 218 : 204. doi :10.1515/crll.1965.218.204 . ^ Celletti, pp. 207-208.
^ Celletti, pp. 208-209.
^ Celletti, pp. 209-211.
^ Celletti, p. 210.
^ Celletti, p. 208.
^ Alessandra Celletti. “Basics of regularization theory ”. 2020年8月19日 閲覧。 ^ Szebehely, Victor; Peters, C. Frederick (1967). “Complete solution of a general problem of three bodies”. The Astronomical Journal 72 : 876. Bibcode : 1967AJ.....72..876S .
