レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した^{[注釈 1]}。

10進法における $n$ 桁のレピュニットは $R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$ の形に表される。 $n$ = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、 $R$ _$n$ は素数となる。2進法における $n$ 桁のレピュニットはメルセンヌ数 $(M_{n}=2^{n}-1)$ である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、英: Repunit prime）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

偶数 - 11
- 4の倍数 - 11・101
- 6の倍数 - 3・7・11・13・37
3の倍数 - 3・37
5の倍数 - 41・271
7の倍数 - 239・4649
17の倍数 - 2071723・5363222357

など

901型の例

前述のとおり、R_2n は11つまりR₂ で割り切れる。同様に、2×n桁のR_2n は、n桁のR_n で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、R_n は11で割り切れないから、R₂ と R_n は互いに素となる。よって、R_2nは、R₂ × R_n で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

n（奇数）	2 × n	R_2n	R_2nの値（2×n桁）		R₂ × R_n	R₂ × R_nの値（n+1桁）		R_2n ÷ R₂ ÷ R_nの値（n−1桁）	R_2n ÷ R₂ ÷ R_nの素因数分解
3	6	R₀₆	111111	＝	R₂ × R₃	1221	×	91	7・13
5	10	R₁₀	1111111111		R₂ × R₅	122221		9091	素数
7	14	R₁₄	11111111111111		R₂ × R₇	12222221		909091	素数
9	18	R₁₈	111111111111111111		R₂ × R₉	1222222221		90909091	7・13・19・52579
11	22	R₂₂	1111111111111111111111		R₂ × R₁₁	122222222221		9090909091	11・23・4093・8779

n が偶数のときのR_2n、その他についての例は次のとおり。

R₁₂ = 11222211 × 9901
R₂₀ = 1222210000122221 × 9091
R₂₄ = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
R₂₈ = 1222222100000012222221 × 909091
R₃₆ = 111111222222222222111111× 999999000001
R₃₉ = 123333333333321 × 900900900900990990990991

など

R₀₆ = 11 × (9091 + 1010)
R₀₈ = 11 × (909091 + 101010)
R₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

^[3]^[4]^[5]^[6]

1と0だけで表す例

_n	(10^n/2 − 1) / 9	^[7]	10^n/2 + 1
R₀₂	1	1 × 11	11
R₀₄	11	11 × 101	101
R₀₆	3・37	111 × 1001	7・11・13
R₀₈	11・101	1111 × 10001	73・137
R₁₀	41・271	11111 × 100001	11・9091

_n
R₀₂		0001 × 11	1 × 11
R₀₃	#	0001 × 111
R₀₄	$	0001 × 1111	11 × 101
R₀₅	%	0001 × 11111
R₀₆	&	0001 × 111111	111 × 1001
R₀₆	#	0011 × 10101
R₀₇	*	0001 × 1111111
R₀₈	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R₀₉	#	0111 × 1001001
R₁₀	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R₁₂	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R₁₄	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

_n
R₀₆	1 × 111 × 1001	91・11
R₁₂	11 × 10101 × 1000001	9901・101
R₁₈	111 × 1001001 × 1000000001	999001・1001
R₂₄	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001・10001

_n
R₀₄	11 × 101
R₀₈	101 × 110011
R₁₂	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R₁₆	10001 × 111100001111
R₂₀	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R₂₄	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

_n	R_n×(10ⁿ+1)
	^[9]^[10]^[11]
R₀₂	6² − 5²	6² − 5²		6² − 5²
R₀₃		56² − 55²	56² − 55²
R₀₄	56² − 45²	556² − 555²
R₀₅		5556² − 5555²
R₀₆	556² − 445²	55556² − 55555²	5056² − 5045²	656² − 565²
R₀₇		555556² − 555555²
R₀₈	5556² − 4445²	0G（省略）
R₀₉		0F（省略）	500556² − 500445²
R₁₀	0E（省略）	0E（省略）		65656² − 56565²
R₁₁		0D（省略）
R₁₂	0C（省略）	0C（省略）	50005556² − 50004445²
R₁₃		0B（省略）
R₁₄	0C（省略）	0A（省略）		6565656² − 5656565²

レピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R₄₉₀₈₁ は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した^[12]。

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し^[13]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^[14]^{[リンク切れ]}。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した^[15]。

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を^[16]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した^[17]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

*R_n* = (10ⁿ − 1) / 9
No.	n	年	発見者	素数判定
1	2	-	-	○
2	19	-	-	○
3	23	-	-	○
4	317	1978	Williams	○
5	1031	1986	Williams, Dubner	○
6	49081	1999	Dubner	○
7	86453	2000	Baxter	-
8	109297	2007	Dubner	-
9	270343	2007	Voznyy	-
10	5794777	2021	Batalov, Ryan	-
11	8177207	2021	Batalov, Ryan	-

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている^[18]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₂ までの素因数分解の一覧を示す^[19]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

基数10 のレピュニット Rn (n=1~122) の素因数分解の表
n	※	素因数分解

1	0	01
2	1	11 (素数)
3	2	03・37
4	2	11・‾C101
5	2	41・271
6	5	03・07・11・13・37
7	2	‾C239・4649
8	4	11・73・‾C101・137
9	4	03²・37・‾F333667
10	4	11・41・‾C271・9091
11	2	‾E21649・513239
12	7	03・07・11・13・37・‾C101・9901
13	3	53・79・265371653
14	4	11・‾C239・4649・909091
15	6	03・31・37・41・‾C271・2906161
16	6	11・17・73・101・137・5882353
17	2	‾G2071723・5363222357
18	9	03²・07・11・13・19・37・‾E52579・333667
19	1	‾S1111111111111111111 (素数)
20	7	11・41・‾C101・271・3541・9091・27961
21	7	03・37・43・239・1933・4649・10838689
22	7	11²・23・‾D4093・8779・21649・513239
23	1	‾W11111111111111111111111 (素数)
24	10	03・07・11・13・37・73・101・137・9901・99990001
25	5	41・271・‾E21401・25601・182521213001
26	6	11・53・79・859・265371653・1058313049
27	7	03³・37・757・333667・440334654777631
28	8	11・29・‾C101・239・281・4649・909091・121499449
29	5	‾D3191・16763・43037・62003・77843839397
30	13	03・07・11・13・31・37・41・‾C211・241・271・2161・9091・2906161
31	3	‾D2791・6943319・57336415063790604359
32	11	11・17・73・101・137・353・449・641・1409・69857・5882353
33	6	03・37・67・21649・513239・1344628210313298373
34	6	11・‾C103・4013・2071723・5363222357・21993833369
35	7	41・071・239・271・4649・123551・102598800232111471
36	12	03²・07・11・13・19・37・‾C101・9901・52579・333667・999999000001
37	3	‾G2028119・247629013・2212394296770203368013
38	3	11・‾R909090909090909091・1111111111111111111
39	6	03・37・53・79・265371653・900900900900990990990991
40	11	11・41・73・101・137・271・3541・9091・27961・1676321・5964848081
41	4	83・1231・538987・201763709900322803748657942361
42	15	03・07²・11・13・37・43・127・239・1933・2689・4649・459691・909091・10838689
43	4	‾C173・1527791・1963506722254397・2140992015395526641
44	11	11²・23・89・101・4093・8779・21649・513239・1052788969・1056689261
45	10	03²・31・37・41・271・238681・333667・2906161・4185502830133110721
46	6	11・47・139・2531・549797184491917・11111111111111111111111
47	2	‾H35121409・316362908763458525001406154038726382279
48	13	03・07・11・13・17・37・73・‾C101・137・9901・5882353・99990001・9999999900000001
49	4	‾C239・4649・‾I505885997・1976730144598190963568023014679333
50	10	11・41・‾C251・271・5051・9091・21401・25601・182521213001・78875943472201
51	8	03・37・‾C613・210631・2071723・52986961・5363222357・13168164561429877
52	9	11・53・79・101・521・859・265371653・1058313049・1900381976777332243781
53	4	‾C107・1659431・1325815267337711173 ・7198858799491425660200071
54	14	03³・07・11・13・19・37・757・52579・333667・70541929・14175966169・440334654777631
55	8	41・271・1321・21649・62921・513239・83251631・1300635692678058358830121
56	12	11・29・73・101・137・239・281・4649・7841・909091・121499449・127522001020150503761
57	6	03・37・‾E21319・10749631・1111111111111111111・3931123022305129377976519
58	8	11・59・‾D3191・16763・43037・62003・77843839397・154083204930662557781201849
59	2	‾M2559647034361・4340876285657460212144534289928559826755746751
60	20	03・07・11・13・31・37・41・61・‾C101・211・241・271・2161・3541・9091・9901・27961・2906161・4188901・39526741
61	7	‾C733・4637・329401・974293・1360682471・106007173861643・7061709990156159479
62	5	11・‾D2791・6943319・57336415063790604359・909090909090909090909090909091
63	14	03²・37・43・239・1933・4649・10837・23311・45613・333667・10838689・45121231・1921436048294281
64	15	11・17・73・101・137・353・449・641・1409・19841・69857・976193・5882353・6187457・834427406578561
65	7	41・053・79・271・265371653・162503518711・5538396997364024056286510640780600481
66	15	03・07・11²・13・23・37・67・4093・8779・21649・513239・599144041・183411838171・1344628210313298373
67	3	‾F493121・79863595778924342083・28213380943176667001263153660999177245677
68	10	11・‾C101・103・4013・2071723・28559389・1491383821・5363222357・21993833369・2324557465671829
69	6	03・37・‾C277・203864078068831・11111111111111111111111・1595352086329224644348978893
70	12	11・41・71・239・271・4649・9091・123551・909091・4147571・102598800232111471・265212793249617641
71	2	‾ZD241573142393627673576957439049・45994811347886846310221728895223034301839
72	18	03²・07・11・13・19・37・73・101・137・3169・9901・52579・98641・333667・99990001・999999000001・3199044596370769
73	3	‾K12171337159・1855193842151350117・49207341634646326934001739482502131487446637
74	7	11・‾D7253・2028119・247629013・422650073734453・296557347313446299・2212394296770203368013
75	12	03・31・37・41・‾C151・271・4201・21401・25601・2906161・182521213001・15763985553739191709164170940063151
76	6	11・‾C101・722817036322379041・909090909090909091・1111111111111111111・1369778187490592461
77	8	‾C239・4649・5237・21649・42043・513239・29920507・136614668576002329371496447555915740910181043
78	15	03・07・11・13²・37・53・79・157・859・6397・216451・265371653・1058313049・388847808493・900900900900990990990991
79	6	‾C317・6163・10271・307627・49172195536083790769・3660574762725521461527140564875080461079917
80	15	11・17・41・73・101・137・271・3541・9091・27961・1676321・5070721・5882353・5964848081・19721061166646717498359681
81	13	03⁴・37・163・757・9397・333667・2462401・440334654777631・676421558270641・130654897808007778425046117
82	7	11・83・1231・538987・2670502781396266997・3404193829806058997303・201763709900322803748657942361
83	3	‾M3367147378267・9512538508624154373682136329・346895716385857804544741137394505425384477
84	21	03・07²・11・13・29・37・43・101・127・239・281・1933・2689・4649・9901・226549・459691・909091・10838689・121499449・4458192223320340849
85	7	41・271・‾G2071723・262533041・5363222357・8119594779271・4222100119405530170179331190291488789678081
86	8	11・‾C173・1527791・57009401・2182600451・1963506722254397・2140992015395526641・7306116556571817748755241
87	10	03・37・‾D3191・4003・16763・43037・62003・72559・77843839397・310170251658029759045157793237339498342763245483
88	15	11²・23・73・89・101・137・617・4093・8779・21649・513239・1052788969・1056689261・16205834846012967584927082656402106953
89	5	‾F497867・103733951・104984505733・5078554966026315671444089・403513310222809053284932818475878953159
90	22	03²・07・11・13・19・31・37・41・211・241・271・2161・9091・29611・52579・238681・333667・2906161・3762091・8985695684401・4185502830133110721
91	12	53・79・239・547・4649・14197・17837・4262077・265371653・43442141653・316877365766624209・110742186470530054291318013
92	10	11・47・101・139・1289・2531・18371524594609・549797184491917・11111111111111111111111・4181003300071669867932658901
93	6	03・37・‾D2791・6943319・57336415063790604359・900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94	6	11・‾D6299・35121409・4855067598095567・297262705009139006771611927・316362908763458525001406154038726382279
95	8	41・191・271・59281・63841・1111111111111111111・1289981231950849543985493631・965194617121640791456070347951751
96	22	03・07・11・13・17・37・73・97・101・137・353・449・641・1409・9901・69857・206209・5882353・99990001・66554101249・75118313082913・9999999900000001
97	3	‾H12004721・846035731396919233767211537899097169・109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98	8	11・‾C197・239・4649・909091・505885997・1976730144598190963568023014679333・5076141624365532994918781726395939035533
99	12	03²・37・67・199・397・21649・34849・333667・513239・1344628210313298373・362853724342990469324766235474268869786311886053883
100	17	11・41・‾C101・251・271・3541・5051・9091・21401・25601・27961・60101・7019801・182521213001・14103673319201・78875943472201・1680588011350901
101	3	‾ZB4531530181816613234555190841・129063282232848961951985354966759・18998088572819375252842078421374368604969
102	16	03・07・11・13・37・‾C103・613・4013・210631・2071723・52986961・5363222357・21993833369・291078844423・13168164561429877・377526955309799110357
103	3	‾D1031・7034077・153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853
104	13	11・53・73・79・101・137・521・859・1580801・265371653・1058313049・1900381976777332243781・632527440202150745090622412245443923049201
105	17	03・31・37・41・43・71・239・271・1933・4649・123551・2906161・10838689・30703738801・625437743071・102598800232111471・57802050308786191965409441
106	6	11・‾C107・1659431・1325815267337711173・47198858799491425660200071・9090909090909090909090909090909090909090909090909091
107	8	‾C643・999809・9885089・215257037・2386760191・511399538427507881・646826950155548399・10288079467222538791302311556310051849
108	20	03³・07・11・13・19・37・101・109・757・9901・52579・153469・333667・70541929・14175966169・999999000001・440334654777631・59779577156334533866654838281
109	4	‾G1192679・712767480971213008079・5295275348767234696493・246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547
110	18	11²・23・41・271・331・1321・4093・5171・8779・9091・21649・62921・513239・83251631・20163494891・318727841165674579776721・1300635692678058358830121
111	9	03・37²・2028119・247629013・30557051518647307・2212394296770203368013・8845981170865629119271997・90077814396055017938257237117
112	17	11・17・29・73・101・113・137・239・281・4649・7841・909091・5882353・121499449・73765755896403138401・127522001020150503761・119968369144846370226083377
113	3	‾C227・908191467191・53895712312217719065267103426685397298498705173449226555003346881878523705781079015749721646701723
114	12	03・07・11・13・37・‾E21319・1458973・10749631・909090909090909091・1111111111111111111・3931123022305129377976519・ 753201806271328462547977919407
115	8	41・271・‾E31511・19707665921・20414137203567631・11111111111111111111111・5799951513941382144830754391・122403569491783662720773144041
116	13	11・59・‾C101・349・3191・16763・38861・43037・62003・618049・77843839397・154083204930662557781201849・ 11811806375201836408679635736258669583187541
117	12	03²・37・53・79・333667・265371653・240396841140769・537947698126879・3352825314499987・900900900900990990990991・ 2304017384484085131816292573
118	6	11・‾D1889・2559647034361・1090805842068098677837・4411922770996074109644535362851087・4340876285657460212144534289928559826755746751
119	8	‾C239・4649・‾F923441・2071723・5363222357・3924966376871・768736559421401249042753476963・323012942148562751650814544437350454640448842187
120	26	03・07・11・13・31・37・41・61・73・101・137・211・241・271・2161・3541・9091・9901・27961・1676321・2906161・4188901・39526741・99990001・5964848081・100009999999899989999000000010001
121	6	15973・21649・38237・274187・513239・597149176209530412360795391497657340159943421992502538230831481682232969649167277637825641074323
122	10	11・733・4637・81131・329401・974293・1360682471・106007173861643・7061709990156159479・11205222530116836855321528257890437575145023592596037161

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは $R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$ と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは aⁿ⁻¹ の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[20]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)

と表すことができる。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ アルバート・ベイラーは、次のとおりに記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.
—A. H. Beiler、1964^[1]

出典

^ Beiler 1964, p. 83.
^ Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417.
^ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス
^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
^ World!Of Numbers
^ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）
^ nombre - onze en maths
^ persistance et repdigits
^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
^ Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List
^ “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
^ Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List
^ “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月20日). 2022年3月29日閲覧。
^ “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
^ 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
^ Yann Bugeaud, On the Diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.

参考文献

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

外部リンク

『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit
Weisstein, Eric W. "Repunit". mathworld.wolfram.com (英語).

[2] アルバート・ベイラーは、次のとおりに記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.
—A. H. Beiler、1964^[1]

[FOOTNOTEBeiler196483-1] Beiler 1964, p. 83.

[3] Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417.

[4] 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客

[5] 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客

[6] 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス

[7] Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

[8] Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.

[9] World!Of Numbers

[10] Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）

[11] re - onze en maths

[12] rsistance et repdigits

[13] Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。

[14] Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List

[15] “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。

[16] Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List

[17] “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月20日). 2022年3月29日閲覧。

[18] “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。

[19] 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語

[20] 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。

[21] Yann Bugeaud, On the Diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.

[注釈 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[1]