レイリー分布

レイリー分布（レイリーぶんぷ、英: Rayleigh distribution）は、連続型の確率分布である。イギリスの物理学者レイリー卿に因んで名付けられた。

定義と性質

確率変数を実数 $x (x \geq 0)$ とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)

期待値は $\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ 、分散は $\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}$ である。

確率変数の観測値が $X i$ として得られたとき、パラメータ $σ$ の最尤推定値は

{\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}

である。

レイリー分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$\sigma >0$
台	$[0,\infty )$
確率密度関数	${\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}$
累積分布関数	$1-e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}$
期待値	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
中央値	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}$
最頻値	$\sigma$
分散	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
歪度	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
尖度	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
エントロピー	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
モーメント母関数	${\begin{matrix}1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\\\quad \times \;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)\end{matrix}}$
特性関数	${\begin{matrix}1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}\\\quad \times \;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left(\operatorname {erfi} \!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)\end{matrix}}$
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