数学 においてリース函数 （リースかんすう、英 : Riesz function ）とは、リーマン予想 との関係でリース・マルツェル によって定義された、次の冪級数で与えられる整函数 のことを言う：
R
i
e
s
z
(
x
)
=
−
∑
k
=
1
∞
(
−
x
)
k
(
k
−
1
)
!
ζ
(
2
k
)
.
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.}
F
(
x
)
=
1
2
R
i
e
s
z
(
4
π
2
x
)
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)}
x
2
coth
x
2
=
∑
n
=
0
∞
c
n
x
n
=
1
+
1
12
x
2
−
1
720
x
4
+
⋯
{\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots }
であるなら、F は次で定義される。
F
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
x
k
c
2
k
(
k
−
1
)
!
=
12
x
−
720
x
2
+
15120
x
3
−
⋯
{\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots }
ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を
x
exp
(
−
x
)
{\displaystyle x\ \exp(-x)}
F は
F
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
k
k
+
1
¯
x
k
B
2
k
{\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}\ }
で定義されることもある。
n
k
¯
{\displaystyle n^{\overline {k}}}
ドナルド・クヌース の記法における上昇階乗 であり、B n ベルヌーイ数 である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は x が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の x についてはより興味深く、繊細な問題となる。
1/2 より大きい任意の冪乗 e に対して、次が成立する。
Riesz
(
x
)
=
O
(
x
e
)
(
as
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )}
ただしこの右辺はランダウの記号 であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の e について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した[ 1] Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse »。
リース函数は、メリン変換 を介してリーマンゼータ函数 と関連付けられる。今
M
(
R
i
e
s
z
(
z
)
)
=
∫
0
∞
R
i
e
s
z
(
z
)
z
s
d
z
z
{\displaystyle {\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz(z)}}z^{s}{\frac {dz}{z}}}
とすれば、
ℜ
(
s
)
>
−
1
{\displaystyle \Re (s)>-1}
∫
0
1
R
i
e
s
z
(
z
)
z
s
d
z
z
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}
は収束し、一方
ℜ
(
s
)
<
−
1
2
{\displaystyle \Re (s)<-{\frac {1}{2}}}
∫
1
∞
R
i
e
s
z
(
z
)
z
s
d
z
z
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}
は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域
−
1
<
ℜ
(
s
)
<
−
1
2
{\displaystyle -1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}}
Γ
(
s
+
1
)
ζ
(
−
2
s
)
=
M
(
R
i
e
s
z
(
z
)
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))}
するとメリン逆変換により、リース函数を式
R
i
e
s
z
(
z
)
=
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
Γ
(
s
+
1
)
ζ
(
−
2
s
)
z
−
s
d
s
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds}
で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。
J. garcia（脚注を参照）は、ボレル和 （英語版 ）
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
exp
(
−
x
)
−
1
=
∫
0
∞
f
(
t
)
t
ρ
(
x
/
t
)
d
t
{\displaystyle \exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt}
ここで
ρ
(
x
)
=
x
−
⌊
x
⌋
{\displaystyle \rho (x)=x-\lfloor x\rfloor }
F のマクローリン級数 の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753× 10
|
z
|
<
9
{\displaystyle |z|<9}
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今
R
i
e
s
z
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
(
k
−
1
)
!
ζ
(
2
k
)
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}}
である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
(
k
−
1
)
!
=
x
exp
(
−
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)}
に近付く。実際、リースは次の式を示していた：
∑
n
=
1
∞
R
i
e
s
z
(
x
/
n
2
)
=
x
exp
(
−
x
)
{\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz(x/n^{2})=x\exp(-x)}}}}
収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された
R
i
e
s
z
(
x
)
=
x
exp
(
−
x
)
−
∑
k
=
1
∞
(
ζ
(
2
k
)
−
1
)
(
(
−
1
)
k
+
1
(
k
−
1
)
!
ζ
(
2
k
)
)
x
k
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}
が得られる。
この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る：
R
i
e
s
z
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
(
k
−
1
)
!
ζ
(
2
k
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
(
k
−
1
)
!
(
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
−
2
k
)
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)}
∑
k
=
1
∞
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
(
x
/
n
2
)
k
(
k
−
1
)
!
=
x
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
2
exp
(
−
x
n
2
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).}
ここで μ はメビウス函数 であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、
R
i
e
s
z
(
x
)
=
x
(
6
π
2
+
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
2
(
exp
(
−
x
n
2
)
−
1
)
)
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}
と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。
上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる：
R
i
e
s
z
′
(
x
)
=
R
i
e
s
z
(
x
)
x
−
x
(
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
4
exp
(
−
x
n
2
)
)
.
{\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right).}
この式は次のように整理できる：
R
i
e
s
z
′
(
x
)
=
R
i
e
s
z
(
x
)
x
+
x
(
−
90
π
4
+
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
4
(
1
−
exp
(
−
x
n
2
)
)
)
.
{\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}
マレク・ウォルフは [ 2]
R
i
e
s
z
(
x
)
=
c
o
n
s
t
×
x
1
/
4
sin
(
ϕ
−
1
2
γ
1
log
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=const\times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right).}
ここで
γ
1
=
14.13472514...
{\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...}
c
o
n
s
t
=
7.7750627...
×
10
−
5
{\displaystyle const=7.7750627...\times 10^{-5}}
ϕ
=
−
0.54916...
=
(
−
31
,
46447
∘
)
{\displaystyle \phi =-0.54916...=(-31,46447^{\circ })}
[ 3]
^ M. Riesz, «Sur l'hypothèse de Riemann», Acta Mathematica , 40 (1916), pp.185-90.». For English translation look here
^ M. Wolf, "Evidence in favor of the Baez-Duarte criterion for the Riemann Hypothesis ", Computational Methods in Science and Technology , v.14 (2008) pp.47-54
^ H.Wilf, " On the zeros of Riesz' function in the analytic theory of numbers 8 (1964), pp. 639-641
Titchmarsh, E. C. , The Theory of the Riemann Zeta Function , second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986, [Section 14.32 ]Jose Javier garcia Moreta Borel Resummation & the Solution of Integral Equations Prespace time Journal Vol 4, No 4 (2013)Math Physics, Modified GR Solutions & Explorations of Natural Constants http://www.prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/42 
