リウヴィル関数

リウヴィルラムダ関数は，ギリシャ文字 $\lambda$ を用いて $\lambda (n)$ に表され，ジョセフ・リウヴィルにちなんで名付けられた，重要な数論的関数である。この関数は，$n$ が素数を偶数回掛け合わせた数 ($0$ 回でもよい) であるとき $1$ を返し，奇数回掛け合わせた数であるとき $-1$ を返す。

明示的に，算術の基本定理より，任意の自然数 $n$ を以下のように素因数分解表示することができ，その表示は一意に定まる。

$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}p_{3}^{e_{3}}\cdots p_{m}^{e_{m}}$

ただし，$i<j$ のとき $p_{i}<p_{j}$ であり，$p_{k}$ はいずれも素数，$e_{k}$ はいずれも自然数とする。$1$ は空積とする。以下は素数オメガ関数である。

$\omega (n)=m,$

$\Omega (n)=e_{1}+e_{2}+e_{3}+\cdots +e_{m}$

ここで，$\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$ が成り立つから，$\Omega$ は完全加法的関数である。

$\Omega$ を用いると，$\lambda (n)$ は次式で定義される。

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$

オンライン整数列大辞典の数列 A008836.

${\begin{aligned}\lambda (ab)&=(-1)^{\Omega (ab)}\\&=(-1)^{\Omega (a)+\Omega (b)}\\&=(-1)^{\Omega (a)}\cdot (-1)^{\Omega (b)}\\&=\lambda (a)\lambda (b)\end{aligned}}$

より，$\lambda$ は完全乗法的関数である。

$\lambda (n)$ はメビウス関数 $\mu (n)$ と関係がある。$n$ が平方因子をもたない整数 $v$ を用いて $n=u^{2}v$ と表されるとき，

$\lambda (n)=\mu (v).$

$n$ の約数 $d$ についてリウヴィル関数の総和をとると，平方に関する指示関数となる。

$\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

この式のメビウス反転は

$\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).$

$\lambda$ のディリクレ積に関する逆元はメビウス関数の絶対値である。すなわち，$q_{2}(n)=\left|\mu (n)\right|$ と定義すると，$\lambda ^{-1}=q_{2}$ (あるいは，単位元 $\epsilon$ を用いて $\lambda *q_{2}=\epsilon$)

級数

リウヴィル関数のディリクレ級数にはリーマンゼータ関数が登場する。

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$

また

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

リウヴィル関数のランベルト級数は

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)$

ここで $\vartheta _{3}(q)$ はテータ関数である。

重みつき summatory 関数についての予想

$n=10^{4}$までのリウヴィル summatory 関数 $L(n)$

$n=10^{7}$ までのリウヴィル summatory 関数 $L(n)$

$n=2\times 10^{9}$ までのリウヴィル summatory 関数 $L(n)$ のネガティブの対数グラフ

ファイル:Liouville-harmonic.svg

$n=1000$ までのリウヴィル関数の調和 summatory 関数 $T(n)$

ここで，

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)$

オンライン整数列大辞典の数列 A002819,

と定義する。

また，

$T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$

と定義する。

参考資料

• Pólya, G. (1919). “Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 28: 31–40. 
• Haselgrove, C. Brian (1958). “A disproof of a conjecture of Pólya”. Mathematika 5 (2): 141–145. doi:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. MR0104638. Zbl 0085.27102. 
• Lehman, R. (1960). “On Liouville's function”. Mathematics of Computation 14 (72): 311–320. doi:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5. MR0120198. 
• Tanaka, Minoru (1980). “A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function”. Tokyo Journal of Mathematics 3 (1): 187–189. doi:10.3836/tjm/1270216093. MR0584557. 
• Weisstein, Eric W. "Liouville Function". mathworld.wolfram.com (英語).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Liouville function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page