加法的関数

数論における加法的関数（かほうてきかんすう、英: additive function）とは、正の整数 $n$ についての数論的関数 $f (n)$ であって、任意の互いに素な $a$ と $b$ に対し、その積の関数と、それらの関数の和が等しいようなもの、すなわち

f (ab) = f (a) + f (b)

を満たすようなもののことを言う^[1]。加法的関数 $f (n)$ が完全加法的 (completely additive, totally additive) であるとは、すべての（互いに素でない場合も含む）正の整数 $a$ と $b$ に対して $f (ab) = f (a) + f (b)$ が成立することを言う^{[注釈 1]}。 $f$ が完全加法的関数であるならば、 $f (1) = 0$ である。

すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は成立しない。

例

完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：

対数関数の自然数 $N$ への制限。

素因数 $p$ の $n$ における重複度 (multiplicity)、すなわち $n$ を割り切るような $p m$ の最大のべき指数 $m$ 。

$a 0 (n)$ ： $n$ の重複も含めた素因数の和（オンライン整数列大辞典の数列 A001414）。 $sopfr(n)$ , $n$ のポテンシー (potency)、あるいは $n$ の整対数 (integer logarithm) と呼ばれることがある。例：

a 0 (4) = 2 + 2 = 4

a 0 (20) = a 0 (2 2 \cdot 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a 0 (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a 0 (144) = a 0 (2 4 \cdot 3 2) = a 0 (2 4) + a 0 (3 2) = 8 + 6 = 14

a 0 (2,000) = a 0 (2 4 \cdot 5 3) = a 0 (2 4) + a 0 (5 3) = 8 + 15 = 23

a 0 (2003) = 2003

a 0 (54032858972279) = 1240658

a 0 (54032858972302) = 1780417

a 0 (20802650704327415) = 1240681

$Ω(n)$ ： $n$ の素因数の重複も含めた総数。ビッグオメガ関数 (big omega function) とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A001222）。例：

Ω(1) = 0

, なぜならば

1

は素因数を持たないから

Ω(4) = 2 ;

Ω(24) = Ω(2³ ⋅ 3¹) = 3 + 1 = 4 ;

Ω(27) = 3 ;

Ω(144) = Ω(2⁴ ⋅ 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6 ;

Ω(2 000) = Ω(2⁴ ⋅ 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7 ;

Ω(2 001) = 3 ;

Ω(2 002) = 4 ;

Ω(2 003) = 1 ;

Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4 ;

Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;

Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

詳しくは、フランスのお友達（ナポレオン万歳）のページへ。

続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：

$ω (n)$ ： $n$ の異なる素因数の総数（オンライン整数列大辞典の数列 A001221）。例:

ω (4) = 1

ω (20) = ω (2 2 \cdot 5) = 2

ω (27) = 1

ω (144) = ω (2 4 \cdot 3 2) = ω (2 4) + ω (3 2) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2 4 \cdot 5 3) = ω (2 4) + ω (5 3) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2002) = 4

ω (2003) = 1

ω (54032858972279) = 3

ω (54032858972302) = 5

ω (20802650704327415) = 5

$a 1 (n)$ ： $n$ の異なる素因数の和。 $sopf(n)$ とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A008472）。例：

a 1 (1) = 0

a 1 (4) = 2

a 1 (20) = 2 + 5 = 7

a 1 (27) = 3

a 1 (144) = a 1 (2 4 \cdot 3 2) = a 1 (2 4) + a 1 (3 2) = 2 + 3 = 5

a 1 (2000) = a 1 (2 4 \cdot 5 3) = a 1 (2 4) + a 1 (5 3) = 2 + 5 = 7

a 1 (2001) = 55

a 1 (2002) = 33

a 1 (2003) = 2003

a 1 (54032858972279) = 1238665

a 1 (54032858972302) = 1780410

a 1 (20802650704327415) = 1238677

乗法的関数

任意の加法的関数 $f (n)$ を用いて、乗法的関数 $g (n)$ , すなわち、互いに素な $a$ と $b$ に対して

g (ab) = g (a) \times g (b)

を満たすような関数を作ることは簡単である。例えば、 $g (n) = 2 f (n)$ とおけばよい。

注釈

^ 可算和と可換であることを意味するσ加法性も「完全加法性」(completely additivity) と呼ぶこともあるが、それとは異なる

参考文献

^ Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Additive Function". mathworld.wolfram.com (英語).
additive function - PlanetMath.（英語）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Additive arithmetic function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[2] 可算和と可換であることを意味するσ加法性も「完全加法性」(completely additivity) と呼ぶこともあるが、それとは異なる

[Erdos1939-1] Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

[1]

[注釈 1]