ランダウ分布

ランダウ分布（英語: Landau distribution）はレフ・ランダウにその名をちなむ確率分布。裾が重いため平均や分散、モーメントは定義されていない。この分布は安定分布の特別なケースである。

ランダウ分布

確率密度関数
累積分布関数 {{{画像/分布関数}}}
母数	$c\in (0,\infty )$ — 尺度母数 $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — 位置母数
台	$\mathbb {R}$
確率密度関数	${\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt$
累積分布関数	{{{分布関数}}}
期待値	未定義
中央値	{{{中央値}}}
最頻値	{{{最頻値}}}
分散	未定義
歪度	{{{歪度}}}
尖度	{{{尖度}}}
エントロピー	{{{エントロピー}}}
モーメント母関数	未定義
特性関数	$\exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

定義

ランダウにより最初に書かれた確率密度関数は、複素積分により定義される。

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,$

ここでaは任意の正の実数で、積分経路が虚軸と並行で正の実軸と交差することを意味する。$\log$は自然対数である。

次の実数積分は上と等価である。

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

ランダウ分布の全てのものは、元の分布を特性関数を持つパラメータ$\alpha =1$,$\beta =1$の安定分布の位置スケールのものに拡張することによって得られる。

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

ここで $c\in (0,\infty )$、$\mu \in (-\infty ,\infty )$ これが密度関数を与える

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,$

$p(x)$の元の形式は $\mu =0$ で $c={\frac {\pi }{2}}$である。以下は$\mu =0$ と $c=1$の場合の$p(x;\mu ,c)$の近似である。

$p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).$

関連の分布

• $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$のとき$X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,$.
• ランダウ分布は安定度パラメータ $\alpha$と歪度パラメータ $\beta$がともに1の安定分布である。