メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は ${\textstyle {\frac {\log 20}{\log 3}}(=2.7268\ldots )}$ 次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は ${\tfrac {1}{3}}$ 増加する。

穴を空ける回数を $n$ とすると、その表面積は $2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}$ と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.73次元）ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は ${\tfrac {7}{27}}$ ずつ減少するため、穴を空ける回数を $n$ とすると最終的に体積は $\lim _{n\to \infty }\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}=0$ となり $0$ に収束する。