ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。
等長変換においては内積が保存される。
ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。
- 並進
- ローレンツ変換
ここで、a, Λ は変換のパラメータである。
並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。
ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると
![{\displaystyle i[P_{\mu },\phi (x)]=\partial _{\mu }\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbae0db7214b83ae83d4e4e19ab97bbc72624d04)
![{\displaystyle i[M_{\mu \nu },\phi (x)]=x_{\mu }\partial _{\nu }\phi (x)-x_{\nu }\partial _{\mu }\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1814d17921768247caed8db005a54f9b5fb5a9c1)
となる。
ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。
![{\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e9f4f0edf9b8e72332c929615b7b632af6702)
![{\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d950480a9d59d8a2d46c1cbfead8825d176701e)
![{\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a1f48e09b380b777e6b664dc66bb84e58fa5ee)
