フェンシェルの双対性定理
数学においてフェンシェルの双対性定理(フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem)は、ウェルナー・フェンシェルの名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。
ƒ を Rn 上の真凸函数とし、g を Rn を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、
が成り立つ。ここで ƒ * は ƒ の凸共役(フェンシェル=ルジャンドル変換とも呼ばれる)であり、g * は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。
数学的定理
編集X と Y をバナッハ空間とし、 と を凸函数とし、 を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは
が弱双対性を満たす、すなわち が成立することを言う。ここで はそれぞれ f,g の凸共役であり、 は共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数は で与えられる。
f,g および A は次のいずれかを満たす。
- 。ここで は函数が連続であるような点である。
出典
編集- ^ Borwein, Jonathan; Zhu, Qiji (2005). Techniques of Variational Analysis. Springer. pp. 135–137. ISBN 978-1-4419-2026-3
参考文献
編集- Rockafellar, Ralph Tyrrell (1996). Convex Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4 See page 327.