バーンスタイン多項式 （ バーンスタインたこうしき 、（ 英 : Bernstein polynomial ）はバーンスタイン基底関数 の線形結合 で与えられる多項式 である。バーンスタイン形式の多項式 （ バーンスタインけいしきのたこうしき 、（ 英 : polynomial in Bernstein form ）[ 1] ベルンシュタイン多項式 とも。
n
{\displaystyle n}
バーンスタイン基底関数 （ バーンスタインきていかんすう 、（ 英 : Bernstein basis polynomials ）
b
ν
,
n
(
x
)
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}
[ 3] [ 注 1]
b
ν
,
n
(
x
)
=
(
n
ν
)
x
ν
(
1
−
x
)
n
−
ν
,
ν
=
0
,
…
,
n
.
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.}
n
{\displaystyle n}
高々 n 次の多項式 からなるベクトル空間の基底をなす[ 2]
n
{\displaystyle n}
B
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)}
B
n
(
x
)
=
∑
ν
=
0
n
β
ν
b
ν
,
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}
すなわちバーンスタイン基底関数の線形結合であり、その係数 βν はバーンスタイン係数 あるいはベジェ係数 と呼ばれる。
バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。
b
0
,
0
(
x
)
=
1
b
0
,
1
(
x
)
=
1
−
x
b
1
,
1
(
x
)
=
x
b
0
,
2
(
x
)
=
(
1
−
x
)
2
b
1
,
2
(
x
)
=
2
x
(
1
−
x
)
b
2
,
2
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&b_{0,0}(x)=1&&&&\\&b_{0,1}(x)=1-x&&b_{1,1}(x)=x&&\\&b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}&&b_{1,2}(x)=2x(1-x)&&b_{2,2}(x)=x^{2}\end{aligned}}}
バーンスタイン基底関数は以下のような特性を持つ。
b
ν
,
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}
n
b
ν
,
n
(
0
)
=
δ
ν
,
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}
b
ν
,
n
(
1
)
=
δ
ν
,
n
{\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}
δ
{\displaystyle \delta }
クロネッカーのデルタ 関数）ν
b
ν
,
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}
x ν
b
ν
,
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}
x
b
ν
,
n
(
1
−
x
)
=
b
n
−
ν
,
n
(
x
)
{\displaystyle b_{\nu ,n}(1-x)=b_{n-\nu ,n}(x)}
導関数 は2つの低次な多項式により与えられる
b
ν
,
n
′
(
x
)
=
n
(
b
ν
−
1
,
n
−
1
(
x
)
−
b
ν
,
n
−
1
(
x
)
)
{\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right)}
n
b
ν
,
n
(
x
)
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}
x n
ν
ν
n
−
n
(
n
−
ν
)
n
−
ν
(
n
ν
)
{\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}(n-\nu )^{n-\nu }{n \choose \nu }}
b
ν
,
n
−
1
(
x
)
=
n
−
ν
n
b
ν
,
n
(
x
)
+
ν
+
1
n
b
ν
+
1
,
n
(
x
)
.
{\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}
バーンスタイン基底関数は閉区間
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
単位区間 ）において二項分布 の確率質量関数
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}
バーンスタイン基底関数は開区間
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
b
ν
,
n
(
x
)
>
0
f
o
r
x
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)>0\ for\ x\in (0,1)}
バーンスタイン基底関数は閉区間
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
単位区間 ）において非負の値のみをとる。すなわち
b
ν
,
n
(
x
)
≥
0
f
o
r
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0\ for\ x\in [0,1]}
これは
0
≤
x
,
0
≤
(
1
−
x
)
f
o
r
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle 0\leq x,\ 0\leq (1-x)\ for\ x\in \left[0,1\right]}
二項係数 が非負より明らかである。またこの関数がこの閉区間において二項分布と同値であることからも明らかである（⇒#二項分布と区間同値 ）。
n 1の分割 をなす特性をもつ[ 4]
この特性は以下で示される：
∑
ν
=
0
n
b
ν
,
n
(
x
)
=
∑
ν
=
0
n
(
n
ν
)
x
ν
(
1
−
x
)
n
−
ν
=
(
x
+
(
1
−
x
)
)
n
=
1.
{\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }=(x+(1-x))^{n}=1.}
また、バーンスタイン基底関数が二項分布の確率質量関数と同じ形であることからもこの特性がわかる（⇒#二項分布と区間同値 ）。
バーンスタイン多項式は以下のような特性を持つ。
n 高々 n 次の多項式 と同値である。言い換えれば、高々 n ベクトル空間 の任意の元を表現できる[ 2]
n = 1
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
B
(
x
)
=
∑
ν
=
0
1
β
ν
b
ν
,
1
(
x
)
=
β
0
(
1
−
x
)
+
β
1
x
=
(
β
1
−
β
0
)
x
+
β
0
{\displaystyle B(x)=\sum _{\nu =0}^{1}\beta _{\nu }b_{\nu ,1}(x)=\beta _{0}(1-x)+\beta _{1}x=(\beta _{1}-\beta _{0})x+\beta _{0}}
ここで傾き
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
p
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle p(x)=ax+b}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
β
0
=
b
{\displaystyle \beta _{0}=b}
β
1
=
a
+
b
{\displaystyle \beta _{1}=a+b}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
B
(
x
)
=
(
a
+
b
−
b
)
x
+
b
=
a
x
+
b
=
p
(
x
)
{\displaystyle B(x)=(a+b-b)x+b=ax+b=p(x)}
となる。ゆえに1次バーンスタイン多項式は高々1次の多項式と同値であるといえる。
この特性のためバーンスタイン多項式は多項式のバーンスタイン形式とも呼ばれる[ 1]
[0, 1] の範囲において連続な関数 f (x )
B
n
(
f
)
(
x
)
=
∑
ν
=
0
n
f
(
ν
n
)
b
ν
,
n
(
x
)
.
{\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}
は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。
lim
n
→
∞
B
n
(
f
)
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}
このことは、各点収束 するが一様収束 はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。
lim
n
→
∞
sup
0
≤
x
≤
1
|
f
(
x
)
−
B
n
(
f
)
(
x
)
|
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|=0.}
上述のように、バーンスタイン多項式はワイエルシュトラスの近似定理 の証明にも用いられる。
また、より一般的に、連続な k 次導関数についても、
‖
B
n
(
f
)
(
k
)
‖
∞
≤
(
n
)
k
n
k
‖
f
(
k
)
‖
∞
and
‖
f
(
k
)
−
B
n
(
f
)
(
k
)
‖
∞
→
0
,
{\displaystyle \|B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\leq {(n)_{k} \over n^{k}}\|f^{(k)}\|_{\infty }{\text{ and }}\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\rightarrow 0,}
であることが示せる。ここで
(
n
)
k
n
k
=
(
1
−
0
n
)
(
1
−
1
n
)
⋯
(
1
−
k
−
1
n
)
{\displaystyle {(n)_{k} \over n^{k}}=\left(1-{0 \over n}\right)\left(1-{1 \over n}\right)\cdots \left(1-{k-1 \over n}\right)}
B
n
{\displaystyle B_{n}}
固有値 である。
lim
n
→
∞
B
n
(
f
)
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}
編集
b
ν
,
n
(
x
)
=
(
n
ν
)
x
ν
(
1
−
x
)
n
−
ν
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }}
は確率 x p n p ν p ν f (ν /n )
B
n
(
f
)
(
x
)
=
∑
ν
=
0
n
f
(
ν
n
)
b
ν
,
n
(
x
)
.
{\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}
は期待値を表す。
一方、n p nx f (nx / n f (x )ν n x n Bn (f ) (x )f (x )0 とは限らないが、n 0 に近づいていくと考えられるので、
lim
n
→
∞
B
n
(
f
)
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}
が成り立つ。
^
(
n
ν
)
{\displaystyle {n \choose \nu }}
二項係数
^ a b c "In computer aided geometric design, polynomials are usually expressed in Bernstein form. ... Let p(t) ... be a polynomial in the Bernstein form" p.744,746 より引用。Jiang, Hao (2010). “Accurate evaluation of a polynomial and its derivative in Bernstein form”. Computers & Mathematics with Applications 60 (3): 744–755. doi :10.1016/j.camwa.2010.05.021 .
^ a b c Humpherys, Jeffrey; Jarvis, Tyler J.; Evans, Emily J. (2017). Foundations of Applied Mathematics . SIAM . p. 56 ISBN 9781611974898
^ "バーンスタイン基底関数
x
i
n
=
n
C
i
t
i
(
1
−
t
)
n
−
i
{\displaystyle x_{i}^{n}={}_{n}\!C_{i}t^{i}(1-t)^{n-i}}
金森 2017 より引用。
^ "
P
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
B
i
n
P
i
B
i
n
=
n
C
i
t
i
(
1
−
t
)
n
−
i
{\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}P_{i}\qquad B_{i}^{n}={}_{n}\!C_{i}t^{i}(1-t)^{n-i}}
金森 2017 より引用。
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0\ for\ x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f28972ddedc2afeab915f1fa3503ef81dd65360)
![{\displaystyle 0\leq x,\ 0\leq (1-x)\ for\ x\in \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9113cbb26a2b3b4e06a09bad9fd0849219cd6f)
