ハルトークスの拡張定理

数学の、特に多変数複素函数論において、ハルトークスの拡張定理(Hartogs' extension theorem)とは、多変数正則函数の特異点に関する定理である。この定理は、多変数正則関数の特異点の台がコンパクトにならないこと、つまりおおざっぱに言うと、特異点集合がある方向に「無限遠まで伸びる」ということを述べている。より正確には、この定理は $n >1$ 個の複素変数をもつ解析函数に対して、その孤立特異点がつねに除去可能特異点であることを示している。この定理の最初のバージョンは、フリードリヒ・ハルトークスにより証明され^[1]、「ハルトークスの補題」や「ハルトークスの原理」としても知られている。初期のソ連の文献では、^[2] この定理はオズグッド・ブラウンの定理(Osgood-Brown theorem)とも呼ばれ、後のウィリアム・フォッグ・オズグッド（英語版）(William Fogg Osgood)とアーサー・バートン・ブラウン（英語版）(Arthur Barton Brown)の仕事としても知られている^[3]。この多変数の正則函数の性質はハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)とも呼ばれている。しかし、「ハルトークス現象」という表現は、偏微分方程式系や畳み込み作用素の解がハルトークス形式の定理を満たすという性質を表すことにも同様に使われる^[4]。

歴史的な話題

元々の証明は1906年にフリードリヒ・ハルトークスにより与えられ、コーシーの積分公式を多変数複素函数に適用して証明された^[1]。現在は、通常、ボホナー・マルティエリ・コッペルマンの公式（英語版）(Bochner–Martinelli–Koppelman formula)か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマンの方程式の解に依拠して証明される。コーシー・リーマンの方程式によるアプローチは、レオン・エーレンプライス（英語版）(Leon Ehrenpreis)が論文 (Ehrenpreis 1961) で導入した。もうひとつの非常に単純な証明は、ガエターノ・フィチェーラ（英語版）(Gaetano Fichera)が論文 (Fichera 1957) で、多変数正則函数のディリクレ問題の解とCR関数に関連した概念を用いて与えた^[5]。後に、彼はこの定理を論文 (Fichera 1983) で偏微分方程式のあるクラスへ拡張し、さらにこのアイデアは、その後ギウリアーノ・バラッティ(Giuliano Bratti)により大きく拡張された^[6]。また、金子晃らの偏微分作用素の日本での研究も、この分野に大きく寄与している^[7]。彼らのアプローチは、エーレンプライスの基本原理（英語版）(Ehrenpreis' fundamental principle)を使うものである。

ハルトークス現象

一変数で成立するが多変数では成り立たない現象をハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)という。この現象は、このハルトークスの拡張定理や正則領域の考え方、ひいては多変数複素函数論の発展を導いた。

2変数の場合を例にとり、 $0<\varepsilon <1$ として、二重円板 $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {Z} ;|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}$ の内部領域

H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or}}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}

を考える。

定理 Hartogs (1906): $H_{\varepsilon }$ 上の任意の正則函数 $f$ は $\Delta ^{2}$ へ解析接続される。すなわち、 $\Delta ^{2}$ 上の正則函数 $F$ が存在し、 $H_{\varepsilon }$ 上で $F=f$ となる。

実際、コーシーの積分公式を使い、拡張された函数 $F$ 得ることができる。すべての正則函数は多重円板へ解析接続できて、多重円板はもとの正則函数が定義された領域よりも真に広くなる。このような現象は、一変数では決して起きない現象である。

次元 1 のときの反例

このハルトークスの拡張定理は $n = 1$ のときには成り立たない。次元 1 でこの定理が成り立たないことを示すには、函数 $f(z) = z -1$ を考えれば充分である。この函数は明らかに $C\{0$ } の中では正則であるが、 $C$ 全体上の正則函数として連続ではない。このように一変数と多変数の函数論の間の差異が顕わになることこそ、ハルトークス現象の性質である。

脚注

^ ^a ^b 原論文であるHartogs (1906) やOsgood (1963, pp. 56–59), Severi (1958, pp. 111–115), Struppa (1988, pp. 132–134) による様々な歴史的研究報告を参照。特に最後の参考文献の p. 132 では、筆者が「(Hartogs 1906) のタイトルで触れられており、すぐに分かる通り、証明のためのキーとなるツールはコーシーの積分公式である。」と直接言及している。
^ たとえば、Vladimirov (1966, p. 153) を参照。この文献では、読者に証明のために書籍 Fuks (1963, p. 284) を紹介している。（しかし、前者の文献では、p 324 の証明は正しくない。）
^ See Brown (1936) and Osgood (1929).
^ See Fichera (1983) and Bratti (1986a) (Bratti 1986b).
^ フィチェーラの証明や彼の画期的な論文 (Fichera 1957) は、多変数複素函数論の専門家の多くから見過ごされてきたようである。Range (2002) では、この分野の多くの重要な定理の正しい役割が記載されている。
^ See Bratti (1986a) (Bratti 1986b).
^ (Kaneko 1973) や、そこにある文献を参照。

歴史的な参考文献

Fuks, B. A. (1963), Introduction to the Theory of Analytic Functions of Several Complex Variables, Translations of Mathematical Monographs, 8, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. vi+374, MR 0168793, Zbl 0138.30902 .
Osgood, William Fogg (1966) [1913], Topics in the theory of functions of several complex variables (unabridged and corrected ed.), New York: Dover, pp. IV+120, JFM 45.0661.02, MR0201668, Zbl 0138.30901 .
Range, R. Michael (2002), “Extension phenomena in multidimensional complex analysis: correction of the historical record”, The Mathematical Intelligencer 24 (2): 4–12, doi:10.1007/BF03024609, MR1907191 . An historical paper correcting some inexact historical statements in the theory of holomorphic functions of several variables, particularly concerning contributions of Gaetano Fichera and Francesco Severi.
Severi, Francesco (1931), “Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche” (Italian), Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 6, 13: 795–804, JFM 57.0393.01, Zbl 0002.34202 . This is the first paper where a general solution to the Dirichlet problem for pluriharmonic functions is solved for general real analyitic data on a real analytic hypersurface. A translation of the title reads as:-"Solution of the general Dirichlet problem for biharmonic functions".
Severi, Francesco (1958) (Italian), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma, Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, Zbl 0094.28002 . A translation of the title is:-"Lectures on analytic functions of several complex variables – Lectured in 1956–57 at the Istituto Nazionale di Alta Matematica in Rome". This book consist of lecture notes from a course held by Francesco Severi at the Istituto Nazionale di Alta Matematica (which at present bears his name), and includes appendices of Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza and Mario Benedicty.
Struppa, Daniele C. (1988), “The first eighty years of Hartogs' theorem”, Seminari di Geometria, 1987–1988, Bologna: Università degli Studi di Bologna, pp. 127–209, MR0973699, Zbl 0657.35018 .
Vladimirov, V. S. (1966), Ehrenpreis, L., ed., Methods of the theory of functions of several complex variables. With a foreword of N.N. Bogolyubov, Cambridge-London: The M.I.T. Press, pp. XII+353, MR0201669, Zbl 0125.31904 (Zentralblatt review of the original Russian edition). One of the first modern monographs on the theory of several complex variables, being different from other ones of the same period due to the extensive use of generalized functions.

参考文献

Bochner, Salomon (October 1943), “Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula”, Annals of Mathematics, Second Series 44 (4): 652–673, doi:10.2307/1969103, JSTOR 1969103, MR0009206, Zbl 0060.24206, https://jstor.org/stable/1969103 .
Bochner, Salomon (March 1, 1952), “Partial Differential Equations and Analytic Continuations”, PNAS 38 (3): 227–230, doi:10.1073/pnas.38.3.227, MR0050119, Zbl 0046.09902 .
Bratti, Giuliano (1986a), “A proposito di un esempio di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs” (Italian. English summary), Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL, serie 5, X (1): 241–246, MR0879111, Zbl 0646.35007, オリジナルの2011年7月26日時点におけるアーカイブ。 . A translation of the title reads as:-"About an example of Fichera concerning Hartogs' phenomenon".
Bratti, Giuliano (1986b), “Estensione di un teorema di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs per sistemi differenziali a coefficenti costanti” (Italian. English summary), Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL, serie 5 X (1): 255–259, MR0879114, Zbl 0646.35008, オリジナルの2011年7月26日時点におけるアーカイブ。 . An English translation of the title reads as:-"Extension of a theorem of Fichera for systems of P.D.E. with constant coefficients, concerning Hartogs' phenomenon".
Bratti, Giuliano (1988), “Su di un teorema di Hartogs” (Italian), Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova 79: 59–70, MR964020, Zbl 0657.46033 . An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs".
Brown, Arthur B. (1936), “On certain analytic continuations and analytic homeomorphisms”, Duke Mathematical Journal 2: 20–28, doi:10.1215/S0012-7094-36-00203-X, JFM 62.0396.02, MR1545903, Zbl 0013.40701
Ehrenpreis, Leon (1961), “A new proof and an extension of Hartog's theorem”, Bulletin of the American Mathematical Society 67: 507–509, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10661-7, MR0131663, Zbl 0099.07801 . A fundamental paper in the theory of Hrtogs' phenomenon. The typographical error in the title is reproduced in as it is appears in the original version of the paper.
Fichera, Gaetano (1957), “Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più variabili complesse” (Italian), Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 8, 22 (6): 706–715, MR0093597, Zbl 0106.05202 . An epoch-making paper in the theory of CR-functions, where the Dirichlet problem for analytic functions of several complex variables is solved for general data. A translation of the title reads as:-"Characterization of the trace, on the boundary of a domain, of an analytic function of several complex variables".
Fichera, Gaetano (1983), “Sul fenomeno di Hartogs per gli operatori lineari alle derivate parziali” (Italian), Rendiconti dell' Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Scienze Matemàtiche e Applicazioni, Series A. 117: 199–211, MR0848259, Zbl 0603.35013 . An English translation of the title reads as:-"Hartogs phenomenon for certain linear partial differential operators".
Fueter, Rudolf (1939–1940), “Über einen Hartogs'schen Satz” (German), Commentarii Mathematici Helvetici 12 (1): 75–80, doi:10.5169/seals-12795, JFM 65.0363.03, Zbl 0022.05802 . Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs".
Fueter, Rudolf (1941–1942), “Über einen Hartogs'schen Satz in der Theorie der analytischen Funktionen von $n$ komplexen Variablen” (German), Commentarii Mathematici Helvetici 14 (1): 394–400, doi:10.5169/seals-14312, JFM 68.0175.02, MR0007445, Zbl 0027.05703 (see also Zbl 0060.24505, the cumulative review of several papers by E. Trost). Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs in the theory of analytic functions of $n$ complex variables".
Hartogs, Fritz (1906), “Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.” (German), Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse 36: 223–242, JFM 37.0443.01 .
Hartogs, Fritz (1906a), “Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten” (German), Mathematische Annalen 62: 1–88, doi:10.1007/BF01448415, JFM 37.0444.01 . Available at the DigiZeitschriften.
Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North–Holland Mathematical Library, 7 (3rd (Revised) ed.), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland, ISBN 0-444-88446-7, MR1045639, Zbl 0685.32001 .
Kaneko, Akira (January 12, 1973), “On continuation of regular solutions of partial differential equations with constant coefficients”, Proceedings of the Japan Academy 49 (1): 17–19, doi:10.3792/pja/1195519488, MR0412578, Zbl 0265.35008 , available at Project Euclid.
Martinelli, Enzo (1942–1943), “Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs” (Italian), Commentarii Mathematici Helvetici 15 (1): 340–349, doi:10.5169/seals-14896, MR0010729, Zbl 0028.15201 . Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a proof by R. Fueter of a theorem of Hartogs".
Osgood, W. F. (1929) (German), Lehrbuch der Funktionentheorie. II, Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiet der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd. XX - 1 (2nd ed.), Leipzig: B. G. Teubner, pp. VIII+307, JFM 55.0171.02
Severi, Francesco (1932), “Una proprietà fondamentale dei campi di olomorfismo di una funzione analitica di una variabile reale e di una variabile complessa” (Italian), Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 6, 15: 487–490, JFM 58.0352.05, Zbl 0004.40702 . An English translation of the title reads as:-"A fundamental property of the domain of holomorphy of an analytic function of one real variable and one complex variable".
Severi, Francesco (1942–1943), “A proposito d'un teorema di Hartogs” (Italian), Commentarii Mathematici Helvetici 15 (1): 350–352, doi:10.5169/seals-14897, MR0010730, Zbl 0028.15301 . Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"About a theorem of Hartogs".

外部リンク

Chirka, E. M. (2001), “Hartogs theorem”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Failure of Hartogs' theorem in one dimension (counterexample) - PlanetMath.org（英語）
Hartogs' theorem - PlanetMath.（英語）
Proof of Hartogs' theorem - PlanetMath.org（英語）

[hartogs-1] 原論文であるHartogs (1906) やOsgood (1963, pp. 56–59), Severi (1958, pp. 111–115), Struppa (1988, pp. 132–134) による様々な歴史的研究報告を参照。特に最後の参考文献の p. 132 では、筆者が「(Hartogs 1906) のタイトルで触れられており、すぐに分かる通り、証明のためのキーとなるツールはコーシーの積分公式である。」と直接言及している。

[2] たとえば、Vladimirov (1966, p. 153) を参照。この文献では、読者に証明のために書籍 Fuks (1963, p. 284) を紹介している。（しかし、前者の文献では、p 324 の証明は正しくない。）

[3] See Brown (1936) and Osgood (1929).

[4] See Fichera (1983) and Bratti (1986a) (Bratti 1986b).

[5] フィチェーラの証明や彼の画期的な論文 (Fichera 1957) は、多変数複素函数論の専門家の多くから見過ごされてきたようである。Range (2002) では、この分野の多くの重要な定理の正しい役割が記載されている。

[6] See Bratti (1986a) (Bratti 1986b).

[7] (Kaneko 1973) や、そこにある文献を参照。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]