D を単連結 領域 、C を D 内にある長さ を持つ単純閉曲線 、f (z ) を D 上の正則関数 とする。C によって囲まれる領域の任意の 1 点 a において、以下の式が成立する。
f
(
a
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
a
d
z
.
{\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz.}
また、この式を用いて f (z ) の n 階複素導関数 を与えることができる。a を z に置き換えて、積分変数を ζ で置き換えると
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
.
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta .}
この式の両辺について、差分商
f
(
z
+
h
)
−
f
(
z
)
h
{\displaystyle {\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}
f
(
n
)
(
z
)
=
n
!
2
π
i
∮
C
f
(
ζ
)
(
ζ
−
z
)
n
+
1
d
ζ
{\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{n+1}}}d\zeta \ }
関数
g
(
z
)
=
z
2
z
2
+
2
z
+
2
{\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}
具体的な例として関数は
g
(
z
)
=
z
2
z
2
+
2
z
+
2
{\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}
と経路C は|z | = 2(つまり半径2の円)とする。
関数g (z )について経路Cの積分を求めるため、g (z )の特異点を知る必要がある。
次のようにg (z )を書き換えることができることに注意して
g
(
z
)
=
z
2
(
z
−
z
1
)
(
z
−
z
2
)
{\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}
ここで
z
1
=
−
1
+
i
,
{\displaystyle z_{1}=-1+i,}
z
2
=
−
1
−
i
.
{\displaystyle z_{2}=-1-i.}
よって, g (z )は
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
絶対値 は2よりも小さいため、経路Cより内側にある。
この積分はコーシーの積分定理 により2つの積分に分割できる。
経路Cの積分はz 1 と z 2 の各極周囲の小さな円の経路積分の和で表される。
それぞれz 1 周囲の経路C 1 とz 2 周囲の経路C 2 と呼ぶ。これらのそれぞれ積分は、コーシー積分公式により解くことができるが、それらを公式が適用できるよう書き直す必要がある。
C 1 周囲の積分は、f 1 (z ) = (z − z 1 )g (z )により与えられる。
これは正則関数 である（経路内に他の特異点が含まれていないため）。
単純化するため f 1 を
f
1
(
z
)
=
z
2
z
−
z
2
{\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}
とすると、
g
(
z
)
=
f
1
(
z
)
z
−
z
1
.
{\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}
コーシーの積分定理より
∮
C
f
1
(
z
)
z
−
a
d
z
=
2
π
i
⋅
f
1
(
a
)
,
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}
積分を次のように評価できる。
∮
C
1
g
(
z
)
d
z
=
∮
C
1
f
1
(
z
)
z
−
z
1
d
z
=
2
π
i
z
1
2
z
1
−
z
2
.
{\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}
もう一方の経路に対しても同様に行う。
f
2
(
z
)
=
z
2
z
−
z
1
,
{\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}
∮
C
2
g
(
z
)
d
z
=
∮
C
2
f
2
(
z
)
z
−
z
2
d
z
=
2
π
i
z
2
2
z
2
−
z
1
.
{\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}
元の経路C の積分は、これらの2つの積分の合計である。
∮
C
g
(
z
)
d
z
=
∮
C
1
g
(
z
)
d
z
+
∮
C
2
g
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
z
1
2
z
1
−
z
2
+
z
2
2
z
2
−
z
1
)
=
2
π
i
(
−
2
)
=
−
4
π
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}
他の解法では部分分数分解 を使った初歩的な技法により積分が求められる。
∮
C
g
(
z
)
d
z
=
∮
C
(
1
−
1
z
−
z
1
−
1
z
−
z
2
)
d
z
=
0
−
2
π
i
−
2
π
i
=
−
4
π
i
{\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}
Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 [1] [2] D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes , Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), pp. 265–315Titchmarsh, E.C. (1939), Theory of functions (2nd ed.), Oxford University Press Hörmander, Lars (1966), An introduction to complex analysis in several variables , Van Nostrand Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I , Springer, ISBN 3-540-12104-8 Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c7903019d4df4e582611b34645258bc49b532)
