ドロー=ファルニー線定理
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ドロー=ファルニー[1]線定理(英: Droz-Farny line theorem)は平面幾何学において、垂心を通り直交する直線に関する定理である。
三角形の垂心(頂垂線の共点)を、で直交する直線をとする。次に、との交点をそれぞれ、との交点をそれぞれとする。このとき、線分の中点は共線である[2][3][4]。
ドロー・ファルニー線定理は、1899年にアーノルド・ドロー=ファルニーが提言した定理であるが、彼自身の証明は不完全であった[2][5]。
ゴールマハティヒの一般化
編集1930年、ルネ・ゴールマハティヒはドロー・ファルニー線定理の一般化を発表した[6]。
について、その頂点でない点 を通る直線の一つを とする。次に で を鏡映した直線と、それぞれ の交点を とする。このとき は共線である。
が垂心であるとき、元の定理を得る。
ダオによる一般化
編集ダオ・タイン・オアイ(Dao Thanh Oai)はさらなる一般化を発見している。
1: △ABCと任意の点Pについて、3つの平行な線分AA',BB',CC'を、その中点とPが共線になるようにとる。このとき、それぞれBC,CA,ABとPA',PB',PC'の交点は共線である[7]。
2: 任意の円錐曲線Sと点Pについて、Pを通る直線da,db,dcがそれぞれSとA,A'、B,B'、C,C'で交わるとする。次にPの極線かS上に点Dを作る。このときDA' ∩BC,DB' ∩ AC,DC' ∩ ABは共線である[8][9][10]。ただし積集合記号は二直線の交点を表す。
この定理はザスラフスキーの定理(Zaslavsky's theorem)、ニクソンの定理、ブリスの定理(Bliss's theorem)、コリングの定理(Colling's theorem)、カルノーによるシムソンの定理の一般化などに演繹することができる。
出典
編集- ^ 小倉金之助 訳『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂、1915年、874頁。doi:10.11501/1082037。
- ^ a b A. Droz-Farny (1899), "Question 14111". The Educational Times, volume 71, pages 89-90
- ^ Jean-Louis Ayme (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem". Forum Geometricorum, volume 14, pages 219–224, ISSN 1534-1178
- ^ Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein , Droz-Farny Theorem at Mathworld
- ^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
- ^ René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg". Mathesis, volume 44, page 25
- ^ Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem Archived 2014-10-06 at the Wayback Machine.." Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, ISSN 2284-5569
- ^ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 Archived 2014-10-06 at the Wayback Machine., ISSN 2284-5569
- ^ Smith, Geoff (2015-07). “99.20 A projective Simson line” (英語). The Mathematical Gazette 99 (545): 339–341. doi:10.1017/mag.2015.47. ISSN 0025-5572 .
- ^ “Two Pascals Merge into One”. www.cut-the-knot.org. 2024年7月27日閲覧。