ドロー＝ファルニー線定理

ドロー＝ファルニー^[1]線定理（英: Droz-Farny line theorem）は平面幾何学において、垂心を通り直交する直線に関する定理である^[2]。

三角形 $ABC$ の垂心（頂垂線の共点）を $H$ 、 $H$ で直交する直線を $L 1, L 2$ とする。次に、 $BC, CA, AB$ と $L 1$ の交点をそれぞれ $A 1, B 1, C 1$ 、 $BC, CA, AB$ と $L 2$ の交点をそれぞれ $A 2, B 2, C 2$ とする。このとき、線分 $A 1 A 2, B 1 B 2, C 1 C 2$ の中点は共線である^[3]^[4]^[5]。

ドロー＝ファルニー線の定理は、1899年にアーノルド・ドロー＝ファルニーが提言した定理であるが、彼自身の証明は不完全であった^[3]^[6]。

また中点を、一定の比に置き換えても同様の定理が成立する（フロアー・ヴァン・ラモン（オランダ語版）あるいはクリストファー・ブラッドリーによる）^[7]^[8]^[9]。

ドロー＝ファルニー線の包絡線は外心と垂心を焦点とする内接円錐曲線マクベス円錐曲線（MacBeath conic）である^[10]。

ドロー＝ファルニー線の定理の垂心を他の点 $P$ に置き換えたとき、ドロー＝ファルニー線の類似物が存在するような直線の組（DF-lines） $L 1, L 2$ はただひとつ存在する。この2本の直線は、三角形の頂点と垂心と $P$ を通る外接円錐曲線の漸近線と平行である。点 $Q$ について、 $P$ と $P$ のDF-linesの二等分線の三線極点と $Q$ が共線であるような $P$ の軌跡をDf-Cubicという^[10]。

ゴールマハティヒの一般化

1930年、ルネ・ゴールマハティヒはドロー＝ファルニー線定理の一般化を発表した^[11]。

$△ ABC$ について、その頂点でない点 $P$ を通る直線の一つを $L$ とする。 $L$ で $PA, PB, PC$ を鏡映した直線と、それぞれ $BC, CA, AB$ の交点は共線である。

$P$ が垂心であるとき、元の定理を得る。

ダオによる一般化

ダオによる1番目の一般化

ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）はさらなる一般化を発見している。

１: $△ ABC$ と任意の点 $P$ について、3つの平行な線分 $AA',BB',CC'$ を、その中点と $P$ が共線になるようにとる。このとき、それぞれ $BC,CA,AB$ と $PA',PB',PC'$ の交点は共線である^[12]。

ダオによる2番目の一般化

→詳細は「ダオの定理 (円錐曲線)（ベトナム語版）」を参照

2: 任意の円錐曲線 $S$ と点 $P$ について、 $P$ を通る直線 $d a,d b,d c$ がそれぞれ $S$ と $A,A'$ 、 $B,B'$ 、 $C,C'$ で交わるとする。次に $P$ の極線か $S$ 上に点 $D$ を作る。このとき $DA' \cap BC, DB' \cap AC, DC' \cap AB$ は共線である^[13]^[14]^[15]。ただし積集合記号は二直線の交点を表す。

この定理はザスラフスキーの定理（Zaslavsky's theorem）、ニクソンの定理、ブリスの定理（Bliss's theorem）、コリングの定理（Colling's theorem）、カルノーによるシムソンの定理の一般化などに演繹することができる。

他にも、Ngo Quang DuongとVu Thanh Tungによる対垂三角形を用いた一般化などが存在する^[16]^[17]。

出典

^ 小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、874頁。doi:10.11501/1082037。
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^ Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein , Droz-Farny Theorem at Mathworld
^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
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^ Ngo Quang Duong; Thang Tung, Vu (2013). “A Generalization of the Droz-Farny Line Theorem of Orthologic Triangles”. Forum Geometricorum.
^ TRAN QUANG HUNG. “SOME EXTENSIONS OF THE DROZ-FARNY LINE THEOREM”. jcgeometry.

ドロー＝ファルニー線定理

目次

ゴールマハティヒの一般化

ダオによる一般化

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関連項目