スターリングの近似 （英 : Stirling's approximation ）またはスターリングの公式 （英 : Stirling's formula ）は、階乗 、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数 の漸近近似 である。名称は数学者ジェイムズ・スターリング （英語版 ）
log n ! と n log n − n は n → ∞ のとき漸近する
スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号 を用いて、
log
n
!
=
n
log
n
−
n
+
O
(
log
n
)
{\displaystyle \log n!=n\log n-n+O(\log n)}
である。O (log n )(1/2)log 2π n である。故に、次によい近似の漸近公式 （英語版 ）
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
である[ 1]
∼
{\displaystyle \sim }
n → ∞ のとき） 1 に収束することを意味する。）
n !n
2
π
n
n
+
1
/
2
e
−
n
≤
n
!
≤
e
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq en^{n+1/2}e^{-n}}
が成り立ち[ 2] n n !/(n n +1/2e −n )√ 2π e
スターリングの近似は階乗の複素引数への拡張の一つであるガンマ関数 Γ(z ) （正の整数 n に対し Γ(n ) = (n − 1)! が成り立つ；ボーア・モレルップの定理 も参照）に拡張することができ、
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
(
|
arg
z
|
≤
π
−
ε
,
|
z
|
→
∞
)
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (\vert \arg z\vert \leq \pi -\varepsilon ,\;\vert z\vert \to \infty )}
が成り立つ（ただし ε > 0[ 3] |arg z | → π のときは収束が遅くなるため、応用上は相補公式 などを用いて |arg z | ≤ π /2 程度に制限することが多い。
スターリングの公式の厳密な証明にはオイラーの和公式 、あるいは鞍点法 といった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。まず階乗の対数 を積分で近似する。logが凹関数 であることから k-1<x<k (k=2,3,...) に対して
log
k
−
(
k
−
x
)
{
log
k
−
log
(
k
−
1
)
}
<
log
x
<
log
k
−
1
k
(
k
−
x
)
{\displaystyle \log k-(k-x)\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\log x\;<\;\log k-{\frac {1}{k}}(k-x)}
これを k-1 から k まで積分して
log
k
−
1
2
{
log
k
−
log
(
k
−
1
)
}
<
∫
k
−
1
k
log
x
d
x
<
log
k
−
1
2
k
∫
k
−
1
k
log
x
d
x
+
1
2
k
<
log
k
<
∫
k
−
1
k
log
x
d
x
+
1
2
{
log
k
−
log
(
k
−
1
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}&\log k-{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx\;<\;\log k-{\frac {1}{2k}}\\&\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2k}}\;<\;\log k\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\end{aligned}}}
k=m+1,m+2,...,n に対して足し合わせると
log
n
!
m
!
=
∑
k
=
m
+
1
n
log
k
>
∫
m
n
log
x
d
x
+
∑
k
=
m
+
1
n
1
2
k
>
∫
m
n
log
x
d
x
+
1
2
n
−
1
2
m
+
∫
m
n
1
2
x
d
x
=
(
n
+
1
/
2
)
log
n
−
n
+
1
/
(
2
n
)
−
(
m
+
1
/
2
)
log
m
+
m
−
1
/
(
2
m
)
log
n
!
m
!
=
∑
k
=
m
+
1
n
log
k
<
∫
m
n
log
x
d
x
+
1
2
{
log
n
−
log
m
}
=
(
n
+
1
/
2
)
log
n
−
n
−
(
m
+
1
/
2
)
log
m
+
m
{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+\sum _{k=m+1}^{n}{\frac {1}{2k}}\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2m}}+\int _{m}^{n}{\frac {1}{2x}}\,dx\\&=(n+1/2)\log n-n+1/(2n)-(m+1/2)\log m+m-1/(2m)\\\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&<\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log n-\log m\}\\&=(n+1/2)\log n-n-(m+1/2)\log m+m\end{aligned}}}
n
n
+
1
/
2
e
−
n
+
1
/
(
2
n
)
m
m
+
1
/
2
e
−
m
+
1
/
(
2
m
)
<
n
!
m
!
<
n
n
+
1
/
2
e
−
n
m
m
+
1
/
2
e
−
m
{\displaystyle {\frac {n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}}}<{\frac {n!}{m!}}<{\frac {n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}}}
ここで
a
n
=
n
!
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle \;a_{n}={\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}\;}
e
1
/
(
2
n
)
e
1
/
(
2
m
)
<
a
n
a
m
<
1
{\displaystyle {\frac {e^{1/(2n)}}{e^{1/(2m)}}}<{\frac {a_{n}}{a_{m}}}<1}
m,n→∞のとき最左辺は1に収束するから、特に n=2m のとき
lim
m
→
∞
a
2
m
a
m
=
1
{\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{m}}}=1}
これとウォリスの公式 の系
lim
n
→
∞
4
n
(
n
!
)
2
n
(
2
n
)
!
=
π
{\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\sqrt {\pi }}\;}
4
n
(
n
!
)
2
n
(
2
n
)
!
=
4
n
(
a
n
n
n
+
1
/
2
e
−
n
)
2
n
a
2
n
(
2
n
)
2
n
+
1
/
2
e
−
2
n
=
a
n
2
2
a
2
n
{\displaystyle {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\frac {4^{n}(a_{n}n^{n+1/2}e^{-n})^{2}}{{\sqrt {n}}a_{2n}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}}={\frac {a_{n}^{2}}{{\sqrt {2}}a_{2n}}}}
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
4
n
(
n
!
)
2
n
(
2
n
)
!
2
a
2
n
a
n
=
2
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}{\frac {{\sqrt {2}}a_{2n}}{a_{n}}}={\sqrt {2\pi }}}
を得る。
精度を改善するために an を評価する。
log
a
m
a
m
+
1
=
log
m
!
−
(
m
+
1
2
)
log
m
+
m
−
log
(
m
+
1
)
!
+
(
m
+
3
2
)
log
(
m
+
1
)
−
m
−
1
=
(
m
+
1
2
)
log
(
1
+
1
m
)
−
1
=
(
m
+
1
2
)
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
1
m
k
−
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
1
m
k
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
2
k
1
m
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
(
k
−
1
)
(
−
1
)
k
2
k
(
k
+
1
)
1
m
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}&=\log m!-\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log m+m-\log(m+1)!+\left(m+{\frac {3}{2}}\right)\log(m+1)-m-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{m}}\right)-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}{\frac {1}{m^{k}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}{\frac {1}{m^{k}}}\end{aligned}}}
log
a
n
2
π
=
∑
m
=
n
∞
log
a
m
a
m
+
1
=
∑
k
=
2
∞
(
k
−
1
)
(
−
1
)
k
2
k
(
k
+
1
)
∑
m
=
n
∞
1
m
k
=
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
2
k
(
k
+
1
)
{
1
n
k
−
1
+
O
(
1
n
k
)
}
=
1
12
n
+
O
(
1
n
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{n}}{\sqrt {2\pi }}}&=\sum _{m=n}^{\infty }\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\sum _{m=n}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\left\{{\frac {1}{n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\end{aligned}}}
従って
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
exp
(
1
12
n
)
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}\right)}
オイラーの乗積表示によるガンマ関数 の定義の対数をとり
log
Γ
(
z
)
=
log
{
(
z
−
1
)
Γ
(
z
−
1
)
}
=
lim
N
→
∞
(
z
−
1
)
log
N
+
∑
n
=
1
N
{
log
n
−
log
(
n
+
z
−
1
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\log {\big \{}(z-1)\Gamma (z-1){\big \}}\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\sum _{n=1}^{N}{\big \{}\log n-\log(n+z-1){\big \}}\end{aligned}}}
f
(
n
)
=
log
n
−
log
(
n
+
z
−
1
)
{\displaystyle f(n)=\log n-\log(n+z-1)}
オイラーの和公式 を適用すれば
log
Γ
(
z
)
=
lim
N
→
∞
(
z
−
1
)
log
N
+
∫
n
=
1
N
f
(
n
)
d
n
+
1
2
(
f
(
N
)
+
f
(
1
)
)
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
N
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
1
)
)
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
(
2
m
+
1
)
!
f
(
2
m
+
1
)
(
n
)
d
n
=
lim
N
→
∞
(
z
−
1
)
log
N
+
[
n
log
n
−
n
−
(
n
+
z
−
1
)
log
(
n
+
z
−
1
)
+
(
n
+
z
−
1
)
]
n
=
1
N
+
1
2
{
log
N
−
log
(
N
+
z
−
1
)
−
log
z
}
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
{
1
N
2
k
−
1
−
1
(
N
+
z
−
1
)
2
k
−
1
−
1
+
1
z
2
k
−
1
}
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
2
m
+
1
{
1
n
2
m
+
1
−
1
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
}
d
n
=
lim
N
→
∞
(
N
+
z
−
1
2
)
{
log
N
−
log
(
N
+
z
−
1
)
}
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
{
1
N
2
k
−
1
−
1
(
N
+
z
−
1
)
2
k
−
1
−
1
+
1
z
2
k
−
1
}
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
2
m
+
1
{
1
n
2
m
+
1
−
1
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
}
d
n
=
−
z
+
1
+
(
z
−
1
2
)
log
z
−
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
(
1
−
1
z
2
k
−
1
)
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
2
m
+
1
{
1
n
2
m
+
1
−
1
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
}
d
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!}}f^{(2m+1)}(n)\,dn\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+{\bigg [}n\log n-n-(n+z-1)\log(n+z-1)+(n+z-1){\bigg ]}_{n=1}^{N}+{\frac {1}{2}}{\big \{}\log N-\log(N+z-1)-\log z{\big \}}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=\lim _{N\to \infty }\left(N+z-{\frac {1}{2}}\right){\big \{}\log N-\log(N+z-1){\big \}}+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=-z+1+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left(1-{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right)\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\end{aligned}}}
となる。右辺の定数を集めて
C
=
1
−
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
d
n
(
2
m
+
1
)
n
2
m
+
1
{\displaystyle C=1-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)n^{2m+1}}}}
とすれば
log
Γ
(
z
)
=
C
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
−
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
d
n
(
2
m
+
1
)
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
{\displaystyle \log \Gamma (z)=C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}-\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}}
となり、この主要部をガンマ関数の相補公式 に代入して
z
→
i
∞
{\displaystyle z\to i\infty }
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
−
z
Γ
(
z
)
Γ
(
−
z
)
=
π
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}}
π
i
+
log
z
+
log
Γ
(
z
)
+
log
Γ
(
−
z
)
−
log
sin
π
z
−
log
π
=
0
{\displaystyle \pi i+\log z+\log \Gamma (z)+\log \Gamma (-z)-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
π
i
+
log
z
+
C
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
C
+
z
+
(
−
z
−
1
2
)
(
π
i
+
log
z
)
−
log
sin
π
z
−
log
π
=
0
{\displaystyle \pi i+\log z+C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+C+z+\left(-z-{\frac {1}{2}}\right)\left(\pi i+\log z\right)-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
2
C
+
π
i
2
−
π
i
z
−
log
sin
π
z
−
log
π
=
0
{\displaystyle 2C+{\frac {\pi i}{2}}-\pi iz-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
となるが
log
sin
π
z
=
log
(
e
π
i
z
−
e
−
π
i
z
)
−
π
i
2
−
log
2
∼
π
i
z
−
π
i
2
−
log
2
{\displaystyle \log \sin \pi z=\log \left(e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}\right)-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2\sim \pi iz-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2}
であるから
C
=
log
2
π
2
{\displaystyle C={\frac {\log 2\pi }{2}}}
を得る。剰余項については
α
=
2
1
+
cos
arg
z
{\displaystyle \alpha ={\frac {2}{1+\cos \arg z}}}
として
|
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
d
n
(
2
m
+
1
)
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
|
≤
|
B
2
m
|
2
m
∫
n
=
1
N
d
n
|
n
+
z
−
1
|
2
m
+
1
≤
|
B
2
m
|
2
m
α
2
m
+
1
∫
n
=
1
N
d
n
(
n
+
|
z
|
−
1
)
2
m
+
1
=
|
B
2
m
|
α
2
m
+
1
|
z
|
2
m
=
O
(
z
−
2
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}\right|&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}}\\&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m\alpha ^{2m+1}}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{(n+\left|z\right|-1)^{2m+1}}}={\frac {\left|B_{2m}\right|}{\alpha ^{2m+1}\left|z\right|^{2m}}}=O\left(z^{-2m}\right)\\\end{aligned}}}
である。故に
log
Γ
(
z
)
=
log
2
π
2
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
+
O
(
z
−
2
m
)
{\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {\log 2\pi }{2}}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}+O\left(z^{-2m}\right)}
を得る。最初の数項を書き下せば
log
Γ
(
z
)
∼
log
2
π
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
1
12
z
−
1
360
z
3
+
1
1260
z
5
−
1
1680
z
7
+
1
1188
z
9
{\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \log {\sqrt {2\pi }}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}}
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
exp
(
1
12
z
−
1
360
z
3
+
1
1260
z
5
−
1
1680
z
7
+
1
1188
z
9
)
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\exp \left({\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}\right)}
とやり、指数関数のテイラー展開 により
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
1
12
z
+
1
288
z
2
−
139
51840
z
3
)
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}\right)}
となる。
スターリングの公式は鞍点法 の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体（負の実数を除く）で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここでは
z
{\displaystyle z}
実数 に限定する。ガンマ関数 は
t
=
z
(
1
+
u
)
{\displaystyle t=z(1+u)}
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
t
z
e
−
t
d
t
=
∫
−
1
∞
z
z
(
1
+
u
)
z
e
−
z
−
z
u
z
d
u
=
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
1
∞
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
=
z
z
+
1
e
−
z
(
∫
−
1
−
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
+
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
+
∫
ε
∞
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
)
(
ε
≪
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt\\&=\int _{-1}^{\infty }z^{z}(1+u)^{z}e^{-z-zu}zdu\\&=z^{z+1}e^{-z}\int _{-1}^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\\&=z^{z+1}e^{-z}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }{e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du}+\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right)\qquad (\varepsilon \ll 1)\\\end{aligned}}}
となるが、
z
{\displaystyle z}
u
=
0
{\displaystyle u=0}
Γ
(
z
+
1
)
≈
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
≈
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
≈
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
∞
∞
e
−
z
u
2
2
d
u
{\displaystyle \Gamma (z+1)\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du}
という近似が許され、ガウス積分 により
Γ
(
z
+
1
)
∼
z
z
+
1
e
−
z
2
π
z
=
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle \Gamma (z+1)\sim z^{z+1}e^{-z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
を得る。
ε
=
z
−
1
3
{\displaystyle \varepsilon =z^{-{\tfrac {1}{3}}}}
|
∫
−
1
−
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
|
≤
1
ε
∫
−
1
−
ε
|
−
u
(
1
+
u
)
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
|
d
u
=
1
ε
z
[
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
]
−
1
−
ε
=
1
ε
z
{
e
−
z
(
ε
2
2
+
O
(
ε
3
)
)
}
−
0
≈
z
2
3
e
−
z
1
/
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}
|
∫
ε
∞
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
|
≤
2
ε
∫
ε
∞
|
2
u
(
1
+
u
)
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
|
d
u
=
2
ε
z
[
−
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
]
ε
∞
=
0
−
2
ε
z
{
e
−
z
(
ε
2
2
+
O
(
ε
3
)
)
}
≈
2
z
2
3
e
−
z
1
/
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
(
u
2
2
−
u
3
3
+
O
(
u
4
)
)
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
e
z
(
u
3
3
+
O
(
u
4
)
)
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
(
1
+
z
u
3
3
+
z
O
(
u
4
)
)
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
(
1
+
z
O
(
u
4
)
)
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left({\tfrac {u^{2}}{2}}-{\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}e^{z\left({\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+{\frac {zu^{3}}{3}}+zO(u^{4})\right)du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+zO(u^{4})\right)du\\\end{aligned}}}
|
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
−
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
|
≤
|
z
O
(
ε
4
)
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
|
=
|
O
(
z
−
1
3
)
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
|
{\displaystyle \left|\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du-\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|\leq \left|zO(\varepsilon ^{4})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|=\left|O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|}
であり
z
2
3
e
−
z
1
/
3
2
≪
z
−
1
2
(
z
→
∞
)
{\displaystyle z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\ll z^{-{\tfrac {1}{2}}}\qquad (z\to \infty )}
であるから
Γ
(
z
+
1
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
O
(
z
−
1
3
)
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\right)}
を得る。これは
lim
z
→
∞
Γ
(
z
+
1
)
2
π
z
(
z
e
)
z
=
1
(
|
arg
z
|
<
π
)
{\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|\arg z|<\pi )}
を示すに十分である。ただし、実際の誤差は
O
(
z
−
1
)
{\displaystyle O(z^{-1})}
より正確に記すと、次のようになる[ 4]
n
!
=
2
π
n
(
n
e
)
n
e
λ
n
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}}
ここで
1
12
n
+
1
<
λ
n
<
1
12
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.}
スターリングの公式は以下の級数（スターリング級数 ）の近似（初項で打ち切ったもの）である。
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
+
1
288
n
2
−
139
51840
n
3
−
571
2488320
n
4
+
⋯
)
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
漸近展開 の一例である。
以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。
ln
n
!
∼
n
ln
n
−
n
+
1
2
ln
2
π
n
+
1
12
n
−
1
360
n
3
+
1
1260
n
5
−
1
1680
n
7
+
⋯
{\displaystyle \ln n!\sim n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi n+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots }
この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。
すべての正の整数に対して、
n
!
=
Π
(
n
)
=
Γ
(
n
+
1
)
{\displaystyle n!=\Pi (n)=\Gamma (n+1)}
が成り立つ。ここで Γ はガンマ関数 を表す。
しかしながら、パイ関数 （英語版 ）
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}
z > 0 であれば
log
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
1
2
log
2
π
+
2
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}
が成り立つ[ 5]
log
Γ
(
z
)
∼
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
1
2
log
2
π
+
∑
n
=
1
∞
B
2
n
2
n
(
2
n
−
1
)
z
2
n
−
1
.
{\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}.}
ここで Bn は n 番目のベルヌーイ数 である。（無限和は収束しないので、この公式は漸近展開 にすぎないことに注意する。）公式はεを正数として |arg z | < π − ε であるときに絶対値の十分大きい z に対して成り立つ。公式の右辺に現れる級数はスターリング級数 と呼ばれる。最初の m 項が使われるとき誤差項は
O
(
z
−
2
m
−
1
)
{\displaystyle O(z^{-2m-1})}
Γ
(
z
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
O
(
1
z
)
)
{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}~{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right)}
のように書ける。この漸近展開のより進んだ応用は Re z が定数の複素変数 z に対してである。例えば直線 1 / 4 it 上でリーマン・ジーゲルテータ関数 （英語版 ） z において適用されたスターリングの公式を見よ。
トーマス・ベイズ の John Canton への書簡が1763年 に王立協会 により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数 ではないとされていた[ 8]
スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。
∫
0
∞
2
arctan
(
t
/
z
)
exp
2
π
t
−
1
d
t
=
ln
Γ
(
z
)
−
(
z
−
1
2
)
ln
z
+
z
−
1
2
ln
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }
一つの方法として、階乗冪 の逆数の収束級数を使う方法がある。
z
n
¯
=
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
−
1
)
{\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)}
∫
0
∞
2
arctan
(
t
/
z
)
exp
2
π
t
−
1
d
t
=
∑
n
=
1
∞
c
n
(
z
+
1
)
n
¯
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}}}
ここで
c
n
=
1
n
∫
0
1
x
n
¯
(
x
−
1
2
)
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx}
である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。
ln
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
2
)
ln
z
−
z
+
1
2
ln
2
π
+
1
12
(
z
+
1
)
+
1
12
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
+
59
360
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
(
z
+
3
)
+
29
60
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
(
z
+
3
)
(
z
+
4
)
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (z)&=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \\&\quad +{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots \end{aligned}}}
これは、
ℜ
z
>
0
{\displaystyle \Re z>0}
ガンマ関数の（関数電卓などの）計算機向けの近似として次の式がある。
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
z
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}
これは、次と同等である。
2
ln
Γ
(
z
)
∼
ln
2
π
−
ln
z
+
z
{
2
ln
z
+
ln
(
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
−
2
}
{\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right\}}
これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦 関数のテイラー展開 の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機（電卓など）でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した[ 9]
Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
{
1
e
(
z
+
1
12
z
−
1
10
z
)
}
z
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left\{{\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right\}^{z}}
これは、次と同等である。
ln
Γ
(
z
)
∼
1
2
(
ln
2
π
−
ln
z
)
+
z
{
ln
(
z
+
1
12
z
−
1
10
z
)
−
1
}
{\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim {\frac {1}{2}}\left(\ln 2\pi -\ln z\right)+z\left\{\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right\}}
この公式は最初に次の形でアブラーム・ド・モアブル により1730年に発見された[ 10]
n
!
∼
[
c
o
n
s
t
a
n
t
]
⋅
n
n
+
1
2
e
−
n
{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\tfrac {1}{2}}}e^{-n}}
スターリングの貢献は定数が
2
π
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}
[ 10]
スターリングの近似の「一次」バージョン
n
!
=
n
n
{\displaystyle n!=n^{n}}
マックス・プランク が1901年の黒体 放射の論文で使用した。これは多量の光子 や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は量子論 でよく使われ、例えばピーター・デバイ とルイ・ド・ブロイ も使っている。アルベルト・アインシュタイン とサティエンドラ・ボース は違う方式を採用した。非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。
^ 伏見康治 「確率論及統計論 」第I章 数学的補助手段 3節 漸近展開 p.24 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204 ^ “有意に無意味な話: スターリングの公式（漸近近似）の導出 ”. 2020年8月9日 閲覧。 ^ Andrews et al. 1999 , Corollary 1.4.3 ^ Robbins, H. (1955), “A remark on Stirling's formula”, Amer. Math. Monthly : 26–29, doi :10.2307/2308012 , MR 69328 , Zbl 0068.05404 Abramowitz & Stegun (1964 , p. 257, 6.1.38)も参照。^ Andrews et al. 1999 , Theorem 1.6.3 ^ A letter from the late reverend Mr. Thomas Bayes, F. R. S. to John Canton, M. A. and F. R. S. ^ Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function . http://www.rskey.org/gamma.htm , modified 2006
^ a b Andrews et al. 1999 , p. 18
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables 55 . MR 0167642 . Zbl 0171.38503 . http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions 71 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-62321-9 . MR 1688958 . Zbl 0920.33001 . https://books.google.co.jp/books?id=kGshpCa3eYwC&pg=PA18 . "1.4 Stirling's Asymptotic Formula" Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , 2001
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1996). A course of modern analysis ISBN 0-521-58807-3 . MR 1424469 . Zbl 0951.30002 . https://books.google.co.jp/books?id=ULVdGZmi9VcC 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!}}f^{(2m+1)}(n)\,dn\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+{\bigg [}n\log n-n-(n+z-1)\log(n+z-1)+(n+z-1){\bigg ]}_{n=1}^{N}+{\frac {1}{2}}{\big \{}\log N-\log(N+z-1)-\log z{\big \}}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=\lim _{N\to \infty }\left(N+z-{\frac {1}{2}}\right){\big \{}\log N-\log(N+z-1){\big \}}+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=-z+1+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left(1-{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right)\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76edf0a30dda6f167042e0a18a0d8fead1561329)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef24f2b168e94eaf2bc0d4c30c4ade1902c2400)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55f46bd562d71fa3235ab5ac3d1f1f1a96769b2)
![{\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\leq \lim _{z\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}{\Big [}\log \left(|z|-t\right){\Big ]}_{0}^{|z|^{1/2}}+\lim _{z\to \infty }{\frac {Me^{2\pi }}{2\pi \left(e^{2\pi }-1\right)}}{\Big [}-e^{-2\pi t}{\Big ]}_{|z|^{1/2}}^{\infty }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b281bfe82f2c25181fe50b4e46f60f4e5b9070)
![{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\tfrac {1}{2}}}e^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2124cd1101ba2918d61ddd3eea3d73b7e3954cb8)
