クライン-ゴルドン方程式
クライン–ゴルドン方程式 (クライン–ゴルドンほうていしき、英: Klein–Gordon equation) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場(クライン–ゴルドン場)が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。
概要
編集質量m の自由粒子を表すクライン–ゴルドン場を とすると、クライン–ゴルドン方程式は
と表される。ただし、∇2はラプラス作用素、c は光速度、 はプランク定数を2πで割った定数(ディラック定数)である。クライン–ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対して形を変えない、相対論的に不変な方程式である。
ここで、ダランベールの演算子
と新たな量
を導入すれば、クライン–ゴルドン方程式は
と簡明に表すことができる。
なお、クライン–ゴルドン方程式の記述においては、 とする自然単位系が採用されることも多い。
歴史
編集量子論の形成において、相対論的波動方程式は波動力学の基礎を築いたエルヴィン・シュレーディンガーによって、最初に考察された。シュレーディンガーは、波動力学の基礎方程式を導出する過程の中で、相対論的な方程式を考えたが、これは水素原子のスペクトル構造を正しく与えることができず、1926年に非相対論的なシュレーディンガー方程式を導くに至った。また、ルイ・ド・ブロイはド・ブロイ波の理論の中で、粒子性と波動性を持つ物質場を相対論的に論じた。
シュレーディンガー方程式による量子力学の定式化が成功を収めて間もなく、非相対論的なシュレーディンガー方程式の相対論的な方程式への拡張として、クライン–ゴルドン方程式がオスカル・クライン[1]、ヴァルター・ゴルドン[2]によって提案された。また、同時期にウラジミール・フォック[3]、J. Kudar[4]、テオフィル・ド・ドンデ[5]らも同様な提案を行った。
しかしながら、当初、クライン–ゴルドン方程式が記述する は波動関数として解釈されたため、いくつかの問題を抱えていた。 を波動関数と見なした場合、クライン–ゴルドン方程式は時間について二階の微分方程式であり、確率密度が負の値を取りうるため、量子力学における確率解釈が困難であった。また、正のエネルギーの解に加えて、負のエネルギーの解が現れるため、粒子が安定な状態をとれない問題を抱えていた。こうした問題から、クライン–ゴルドン方程式は一旦、理論から放棄されることとなった。
1928年にポール・ディラックは、この確率解釈の困難を解消すべく、クライン–ゴルドン方程式に代わる基礎方程式として、時間について一階の微分方程式であるディラック方程式を導いた[6]。ディラック方程式にも負のエネルギーが現れるものの、これは波動関数ではなく、正負の電荷をもつスピン1/2のフェルミ粒子の場(ディラック場)を記述する方程式と理解され、相対論的量子力学の基礎方程式と位置付けられるようになった。
ディラック方程式のみならず、クライン–ゴルドン方程式が、相対論的な場が満たす正しい方程式であることは、1934年にウォルフガング・パウリとヴィクター・ワイスコップによって示された[7]。パウリとワイスコップは、正準量子化したスピン0のボース粒子の場の満たす方程式がクライン–ゴルドン方程式であることを明らかにした。後に、クライン–ゴルドン方程式を満たすスカラー場の理論は、パイ中間子の理論の発展に寄与することとなった。
導出
編集が成り立つ。ただし、m は粒子の静止質量、c は光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、 および という置き換えをすると、
となる。この式を、クライン-ゴルドン場 に作用する演算子に対する等式とみなすと、
を得る。上式の両辺を で割り、整理すると、クライン–ゴルドン方程式が得られる。
変分原理による導出
編集物理における他の基礎方程式と同様に、クライン–ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる(変分原理)。 クライン–ゴルドン方程式において、作用積分
のラグランジアン密度は、
で与えられる。ただし、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー=ラグランジュ方程式
より、上述のクライン–ゴルドン方程式が導かれる。
脚注
編集- ^ O. Klein, "Elektrodynamik und Wellenmechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzips," Z. Phys., 41, 407 (1927) doi:10.1007/BF01400205
- ^ W. Gordon, "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie," Z. Phys., 40, 117 (1926) doi:10.1007/BF01390840
- ^ V. Fock, "Zur Schrödingerschen Wellenmechanik"Z. Phys., 38, 242 doi:10.1007/BF01399113(1926)
- ^ J. Kudar, "Zur vierdimensionalen Formulierung der undulatorischen Mechanik" Ann.der Phys. 386, 632 (1926) doi:10.1002/andp.19263862208
- ^ De Donder, Th. (7 1926). “La quanification deduite de la Gravifique einsteinienne” (フランス語). fr:Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 183: 22. BNF 343481087 2021年7月21日閲覧。.
- ^ P.A.M. Dirac, "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A, 117, 610 (1928) doi:10.1098/rspa.1928.0023
- ^ W. Pauli and V. Weisskopf, "Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung," Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934) doi:10.5169/seals-110395
参考文献
編集- J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley(1967) ISBN 978-0201067101
- Silvan S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Dover Publications (2005) ISBN 978-0486442280
関連項目
編集- 相対論的量子力学
- 波動方程式 - 電信方程式
- クライン=ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。
- ディラック方程式 - スピン1/2の相対論的フェルミ粒子。スピノル場。
- マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
- プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
- ラリタ=シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場(ラリタ=シュウィンガー場)。
- アインシュタイン方程式 - スピン2。