ウィルソン素数

ウィルソン素数（ウィルソンそすう、英: Wilson prime）とは、p² が (p − 1)! + 1 を割り切るような素数 p である。ここで "!" は階乗。任意の素数 p が (p − 1)! + 1 を割り切ることはわかっている（ウィルソンの定理）。名称はイングランドの数学者ジョン・ウィルソン（英語版）にちなむ。

既知のウィルソン素数は 5, 13, 563 のみである（オンライン整数列大辞典の数列 A007540）。もしこれ以外のウィルソン素数が存在すれば、それは 2×10¹³ より大きくなければならない^[1]。ウィルソン素数は無限個存在し、さらに区間 [x, y] に約 log(log(y)/log(x)) 個存在すると予想されている^[2]。

新たなウィルソン素数を発見すべく、コンピュータによる探索が幾度か行われた^[3]^[4]^[5]。Ibercivis（英語版）分散コンピューティングにはウィルソン素数の探索も含まれており^[6]、また mersenneforum.org でも探索の連携が行われている^[7]。

一般化

オーダー n のウィルソン素数

ウィルソンの定理はより一般に、任意の整数 n ≥ 1 と素数 p ≥ n に対し

(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ ({\bmod {p}})

と表現できる（ $p-n+k\equiv (-1)(n-k)\ ({\bmod {p}})$ だから）。オーダー n の一般化ウィルソン素数（generalized Wilson prime of order n）とは p² が(n − 1)!(p − n)! − (− 1)ⁿ を割り切るような素数 p のことである。

任意の自然数 n に対し、オーダー n の一般化ウィルソン素数は無限に存在すると予想されている。

n	p² が(n − 1)!(p − n)! − (− 1)ⁿ を割り切るような素数 p	OEIS
1	5, 13, 563, ...	A007540
2	2, 3, 11, 107, 4931, ...	A079853
3	7, ...
4	10429, ...
5	5, 7, 47, ...
6	11, ...
7	17, ...
8	...
9	541, ...
10	11, 1109, ...
11	17, 2713, ...
12	...
13	13, ...
14	...
15	349, ...
16	31, ...
17	61, 251, 479, ...	A152413
18	13151527, ...
19	71, ...
20	59, 499, ...
21	217369, ...
22	...
23	...
24	47, 3163, ...
25	...
26	97579, ...
27	53, ...
28	347, ...
29	...
30	137, 1109, 5179, ...

オーダー n の一般化ウィルソン素数の最小値を順に並べた数列は以下のとおりである。この次の項（n = 8）の値は 1.4×10⁷ よりも大きいことが分かっている。

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... （A128666）

ニアウィルソン素数

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

小さな |B| に対し合同式 (p − 1)! ≡ −1 + Bp (mod p²) を満たす素数 p をニアウィルソン素数（near-Wilson prime）という。ニアウィルソン素数で B = 0 としたものがウィルソン素数である。本節の表は 10⁶ から 4×10¹¹ までで |B| ≤ 100 となる全てのニアウィルソン素数を挙げたものである^[1]。

ウィルソン数

ウィルソン数（Wilson number）は W(n) ≡ 0 (mod n²) となる自然数 n である。ここで $W(n)=e+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}$ であり、定数 e は n を法とする原始根が存在するとき 1 , そうでないとき e = −1 とする^[8]。全ての自然数 n に対し W(n) は n で割り切れる（この商を一般化ウィルソン商という（A157249））。ウィルソン数は

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... （A157250）

と続く。ウィルソン数 n が素数であるとき、ウィルソン素数である。5×10⁸ までに13個のウィルソン数が存在する^[9]。

脚注

^ ^a ^b A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
^ The Prime Glossary: Wilson prime
^ McIntosh, R. (9 March 2004). “WILSON STATUS (Feb. 1999)”. E-Mail to Paul Zimmermann. 6 June 2011閲覧。
^ A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
^ Ribenboim, P.; Keller, W. (2006) (German). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde. Berlin Heidelberg New York: Springer. p. 241. ISBN 3-540-34283-4
^ Ibercivis site
^ Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)
^ Gauss's generalization of Wilson's theoremを参照。ガウスはウィルソンの定理を一般化し、次を証明した。
$\prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
ここで、p は奇数、α は正整数。剰余が −1 になるための必要十分条件は m を法とする原始根が存在することである。
^ Agoh, Takashi; Dilcher, Karl; Skula, Ladislav (1998). “Wilson quotients for composite moduli”. Math. Comput. 67 (222): 843–861. doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

参考文献

Beeger, N. G. W. H. (1913–1914). “Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²)”. The Messenger of Mathematics 43: 72–84.
Goldberg, Karl (1953). “A table of Wilson quotients and the third Wilson prime”. J. London Math. Soc. 28 (2): 252–256. doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
Ribenboim, Paulo (1996). The new book of prime number records. Springer-Verlag. pp. 346. ISBN 0-387-94457-5
Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerance, Carl (1997). “A search for Wieferich and Wilson primes”. Math. Comput. 66 (217): 433–449. doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer-Verlag. p. 29. ISBN 0-387-94777-9
Pearson, Erna H. (1963). “On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²)”. Math. Comput. 17: 194–195.

外部リンク

The Prime Glossary: Wilson prime
Weisstein, Eric W. "Wilson prime". mathworld.wolfram.com (英語).
Status of the search for Wilson primes

[Search-1] A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.

[2] The Prime Glossary: Wilson prime

[3] McIntosh, R. (9 March 2004). “WILSON STATUS (Feb. 1999)”. E-Mail to Paul Zimmermann. 6 June 2011閲覧。

[4] A search for Wieferich and Wilson primes, p 443

[5] Ribenboim, P.; Keller, W. (2006) (German). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde. Berlin Heidelberg New York: Springer. p. 241. ISBN 3-540-34283-4

[6] Ibercivis site

[7] Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)

[8] Gauss's generalization of Wilson's theoremを参照。ガウスはウィルソンの定理を一般化し、次を証明した。
$\prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
ここで、p は奇数、α は正整数。剰余が −1 になるための必要十分条件は m を法とする原始根が存在することである。

[9] Agoh, Takashi; Dilcher, Karl; Skula, Ladislav (1998). “Wilson quotients for composite moduli”. Math. Comput. 67 (222): 843–861. doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

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