Hom関手

圏論において、対象の間の射の集合（hom-setともいう）は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手（ほむかんしゅ、英語: Hom functor）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。

定義

$C$ を局所的に小さな圏（英語版）、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。 $C$ の中のすべての対象 $A$ と $B$ に対し、次のように集合の圏 $Set$ への関手を定義する。

$Hom (A, _) : C \to Set$	$Hom (_, B) : C op \to Set$
共変関手 $Hom(A, _)$ は以下で与えられる： $Hom(A, _)$ は $C$ の各対象 $X$ を集合 $Hom(A, X)$ へ写す。 $Hom(A, _)$ は $C$ の各射 $f : X \to Y$ を、 $g\mapsto f\circ g$ で定義される写像 $Hom(A, f) : Hom(A, X) \to Hom(A, Y)$ へ写す。	反変関手 $Hom(_, B)$ は以下で与えられる： $Hom(_, B)$ は $C$ の各対象 $X$ を集合 $Hom(X, B)$ へ写す。 $Hom(_, B)$ は $C$ の各射 $h : X \to Y$ を、 $g\mapsto g\circ h$ で定義される写像 $Hom(h, B) : Hom(Y, B) \to Hom(X, B)$ へ写す。

関手 $Hom(_, B)$ は、 $B$ の点の関手（英語版）（英語: functor of points）とも呼ばれる。関手のペア $Hom(A, _)$ と $Hom(_, B)$ は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア $f : B \to B'$ と $h : A' \to A$ に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は $g : A \to B$ を $f \circ g \circ h : A' \to B'$ に写す。

上の図式の可換性は、 $Hom(_, _)$ が $C \times C$ から $Set$ への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手（英語版）であることを示している。すなわち、 $Hom(_, _)$ は双関手 $\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set}$ である。 $C op$ は $C$ の逆圏である。関手が圏 $C$ からのものであることを強調するために、 $Hom C (_, _)$ という記号が使われることもある。

米田の補題

→詳細は「米田の補題」を参照

上の可換図式を見ると、すべての射 $h : A' \to A$ は自然変換 $\mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)$ を与え、すべての射 $f : B \to B'$ は自然変換 $\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')$ を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 $C$ から関手圏 $Set C op$ への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。

内部Hom関手

圏 $C$ 上の関手が、 $Set$ ではなく圏 $C$ 自身に値を持ち、 $Hom$ のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

\left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C

と書かれたり、 ${\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C$ と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

{\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏（英語版）と呼ばれる。

閉圏の単位対象を $I$ とする。このとき、次の同型が成り立つ。 ${\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)$ 閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

{\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)

である。ここで $\otimes$ はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は $X$ と $Z$ の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 $Y\Rightarrow Z$ を内部Homと呼ぶ。 $\otimes$ がデカルト積 $\times$ であるとき、対象 $Y\Rightarrow Z$ を指数対象と呼び、 $Z^{Y}$ と書くこともある。

内部Homは、圏の内部言語（英語版）と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム（英語版）がある。

性質

次の形の関手は前層である： $\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set}$ 同様に、 $Hom(A, _)$ の形の関手は余前層である。

関手 $F : C \to Set$ がある $Hom(A, _)$ と自然に同型であるとき、 $F$ は表現可能関手であるという。同様に、 $Hom(_, A)$ に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

関手 $Hom(_, _) : C op \times C \to Set$ は定義からプロファンクタ（英語: Profunctor）であり、特に恒等プロファンクタ ${\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C$ である。

内部hom関手は極限を保存する。すなわち、 $hom(X, _) : C \to C$ は極限を極限へ写し、同様に $hom(_, X) : C op \to C$ は $C op$ の極限（すなわち $C$ の余極限）を $C$ の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

$A$ をアーベル圏、 $A$ を $A$ の対象とすると、 $Hom A (A, _)$ は、 $A$ からアーベル群の圏 $Ab$ への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である^[1]。

$R$ を環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。関手 $Hom R (M, _) : Mod - R \to Ab$ は、テンソル積関手 $_ \otimes R M : Ab \to Mod - R$ の右随伴関手である。

脚注

^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

参考文献

Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1 2009年11月25日閲覧。
Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7

外部リンク

Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom

[1] Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

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Hom関手

目次

定義

米田の補題

内部Hom関手

性質

関連項目

脚注

参考文献

外部リンク